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Description
(Text)
Erst in den letzten Jahren hat sich derjenige Tell der Approximations theorie, der sich auf numerische Fragestellungen anwenden liiBt, starker entwickelt. Das Prinzip der in einem gewissen Sinne besten Anniiherung von Funktionen gewann insbesondere durch die Verwendung elektro nischer Rechenmaschinen an Bedeutung. Einige der theoretischen Grundlagen, die zur Behandlung der auftretenden Probleme herange zogen werden mussen, finden sich verstreut in wenigen Buchern. Der weitaus gr6Bte Teil der theoretischen und praktischen Untersuchungen ist jedoch nur in den Originalarbeiten nachzulesen. Hieraus ergab sich die Zielsetzung des vorliegenden Buches: Es sollte eine Zusammen stellung der wesentlichen Ergebnisse der Approximationstheorie gegeben werden, die einerseits ein rasches Eindringen in die modernen Entwick lungen dieses Gebietes ermoglicht und andererseits eine gewisse Voll stiindigkeit auf dem Problemkreis der Tschebyscheff-Approximationen bietet, womit keineswegs gemeint ist, daB eine vollstiindige Literatur ubersicht angestrebt wurde. Die Auswahl erfolgte stets nach dem immer noch subjektiven Gesichtspunkt der Bedeutung fiir die Anwendungen. Dies gilt z. B. auch fur die asymptotischen Untersuchungen des
3, denn ich bin der Meinung, daB man sich auch beinumerischen Approximationen uber die, wenigstens asymptotisch zu erwartende Genauigkeit Gedanken machen sollte. Fast ausschlieBlich habe ich mich auf die Theorie der gleich miiBigen Approximation beschriinkt, da diese die weitaus groBte prak tische Bedeutung besitzt. Das erste Kapitel behandelt lineare Approximationen. Der
3 ent hiilt wohl den heute kiirzesten Zugang zur linearen Theorie.
(Table of content)
I Lineare Approximationen.- 1. Das allgemeine lineare Approximationsproblem.- 2. Dichte Systeme.- 3. Allgemeine Theorie linearer Tschebyscheff-Approximationen.- 4. Spezielle Tschebyscheff-Approximationen.- 5. Abschätzungen der Größenordnung des Fehlers bei trigonometrischer und bei polynomialer Approximation.- 6. Polynomapproximationen.- 7. Numerische Verfahren bei linearen Tschebyscheff-Approximationen.- II Nicht-lineare Approximationen.- 8. Allgemeine Theorie nicht-linearer Tschebyscheff-Approximationen.- 9. Rationale Approximationen.- 10. Exponentialapproximationen.atoren. Der Satz von Berman.- 5.2. Der Zusammenhang von trigonometrischer und polynomialer Approximation.- 5.3. Der Fejér-Operator.- 5.4. Die Operatoren von Korovkin.- 5.5. Die Sätze von D. Jackson.- 5.6. Die Sätze von Bernstein und Zygmund.- 5.7. Einige Ergänzungen.-
6. Polynomapproximationen.- 6.1. Grundlagen.- 6.2. Obere Abschätzungen für En (f).- 6.3. Untere Abschätzungen für En (f).- 6.4. Approximation auf kleinen Intervallen.- 6.5. Asymptotische Aussagen.- 6.6. Aussagen über Alternanten.-
7. Numerische Verfahren bei linearen Tschebyscheff-Approximationen.- 7.1. Iterationsmethoden nach Remez.- 7.2. Ausgangsnäherungen.- 7.3. Direkte Verfahren.- 7.4. Diskretisierung. Weitere Verfahren.- II Nicht-lineare Approximationen.-
8. Allgemeine Theorie nicht-linearer Tschebyscheff-Approximationen.- 8.1. Problemübersicht. Verallgemeinerung des Satzes von Kolmogoroff.- 8.2. Der Haarsche Eindeutigkeitssatz. Alternanten.- 8.3. Die Untersuchungen von Rice.- 8.4. Das Newtonsche Iterationsverfahren.-
9. Rationale Approximationen.- 9.1. Existenz. Ein Satz von Walsh.- 9.2. Alternantensatz. Anomalien. Beispiele.- 9.3. Asymptotische Aussagen.- 9.4. Numerische Verfahren.-
10. Exponentialapproximationen.- 10.1. Die Ergebnisse von Rice. Ausgangsnäherung. Beispiel.
Contents
I Lineare Approximationen.- § 1. Das allgemeine lineare Approximationsproblem.- § 2. Dichte Systeme.- § 3. Allgemeine Theorie linearer Tschebyscheff-Approximationen.- § 4. Spezielle Tschebyscheff-Approximationen.- § 5. Abschätzungen der Größenordnung des Fehlers bei trigonometrischer und bei polynomialer Approximation.- § 6. Polynomapproximationen.- § 7. Numerische Verfahren bei linearen Tschebyscheff-Approximationen.- II Nicht-lineare Approximationen.- § 8. Allgemeine Theorie nicht-linearer Tschebyscheff-Approximationen.- § 9. Rationale Approximationen.- § 10. Exponentialapproximationen.
