逆数学―定理から公理を「証明」する

スティルウェル，ジョン【原著】〈Ｓｔｉｌｌｗｅｌｌ，Ｊｏｈｎ〉/田中 一之【監訳】/川辺 治之【訳】

森北出版（2019/02発売）

• サイズ A5判／ページ数 217p／高さ 22cm
• 商品コード 9784627054516
• NDC分類 410.9
• Cコード C3041

出版社内容情報

公理と定理の関係を探る逆数学。その考え方と歴史を平易に解説。「定理の証明には、いったいどれくらいの公理が必要なのだろう？」――古くは紀元前から、数学にはたびたびこの疑問が投げかけられてきた。この疑問にある種の回答を与えるのが、逆数学とよばれる数学基礎論の一分野である。

逆数学では、“公理”から“定理”を導く通常の数学とは異なり、“定理”に必要な“公理”を探る。これによって、定理どうしを“深さ”で分類したりすることができる。たとえば、「最大値の定理は中間値の定理より“深い”」といった具合だ。

本書では、解析学の基礎を通して、逆数学の基本的な考え方を解説。要所要所で歴史的な話題にも触れながら、読者をナビゲートしていく。

本書を読み終えた後、読者は、これまで出会ってきた定理たちを少し違った角度から眺めている自分に気づくはずだ。

「数学者は、材料の公理を加工して、定理という製品をつくり出す機械みたいなものか、といえば決してそうではないだろう。むしろ、ある定理を生み出すためにはどんな概念や仮説が必要か、あるいは、どうすればもっと少ない仮定で同じ定理が導けるかと考えていることが多いはずである。そのような(…)数学の内側(inside)を探る方法はないだろうか。この素朴な疑問に対して、内視鏡のような強力な道具を与えるのが逆数学なのである。」（監訳者解説より）

第1章　逆数学に至る歴史
第2章　古典的算術化
第3章　古典的解析学
第4章　計算可能性
第5章　計算の算術化
第6章　算術的内包公理
第7章　再帰的内包公理
第8章　全体像
監訳者解説

ジョン・スティルウェル［ジョン スティルウェル］
原著

田中 一之［タナカ カズユキ］
翻訳

川辺 治之［カワベ ハルユキ］
翻訳

内容説明

定理の証明にはいったい、どれくらいの公理が必要なのだろう？考え方と歴史を知るための入門ガイド。

目次

第１章　逆数学に至る歴史
第２章　古典的算術化
第３章　古典的解析学
第４章　計算可能性
第５章　計算の算術化
第６章　算術的内包公理
第７章　再帰的内包公理
第８章　全体像

著者等紹介

スティルウェル，ジョン［スティルウェル，ジョン］ ［Ｓｔｉｌｌｗｅｌｌ，Ｊｏｈｎ］
サンフランシスコ大学教授。１９世紀と２０世紀の数学の歴史、数論、幾何学、代数学、トポロジー、数学基礎論など、幅広い分野に興味をもつ

田中一之［タナカカズユキ］
東北大学大学院理学研究科数学専攻教授。カリフォルニア大学バークレー校博士課程修了（Ｐｈ．Ｄ．）。専門は数学基礎論。とくに、逆数学や不完全性定理の研究

川辺治之［カワベハルユキ］
日本ユニシス株式会社総合技術研究所上席研究員。東京大学理学部数学科卒（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）
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感想・レビュー

※以下の感想・レビューは、株式会社ブックウォーカーの提供する「読書メーター」によるものです。

[mft]

タイトルや副題は結構漠然とした印象だが、内容的には計算可能性理論の足場から微分積分の定理(中間値の定理やボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理など)を眺めるようになっている。構成的数学というのがモチベーションの一つかと思うが、あくまで古典論理での話だと思うので直観主義論理だったらどれぐらいのことが言えるのかは(野次馬的に)興味を覚える

2020/05/03

[kinaba]

丁寧に書いてるように見えて、ところどころロジック脳には自然すぎて説明の必要性をスルーしてしまったのだろうなという記述（値域が"存在しない"、とか）が垣間見えて微笑ましいところも見えるような。いやしかしよい入門書だと思います。『五大体系』の『外』にある定理、だと…！？みたいな中二心がそそられるところまで話を持ってきてくれて、よい。

2019/12/04

[Akiro OUED]

証明の途中で公理を追加して証明する。追加する公理の数で、命題の深さを符号化するという発想が面白い。リーマン予想が、無限に深くないといいんだけど。時間と空間とは何か？という原点に立ち戻ったループ量子重力理論と、自然数の算術体系からどれくらい遠いのかを測る逆数学、妙に符合してる。

2020/10/04

[こたろう]

新しい分野の逆数学について書かれた本。力不足でまだまだ理解できないところがたくさんあった。最初は、数学基礎論の復習という内容だが、他の本で数学基礎論を知っていないととても理解できる内容ではなかった。しかし、その後に続く計算可能性の部分は、興味深く読めた。全体的に消化不良なところが多く、再読でチャレンジしたい本。

2019/06/11