内容説明
１変数関数の積分が「面積」を意味するなら，２変数関数の積分は何を意味するだろうか．また，２変数関数のテイラー展開はどう表わされるだろうか．３変数ならばどうか．多変数の導入は数学の概念をより豊かにし，多様体など現代数学への一歩となる．多変数関数ならではの勘所・急所を押さえて，数学の実力をぐんとアップさせよう．※この電子書籍は「固定レイアウト型」で作成されており，タブレットなど大きなディスプレイを備えた端末で読むことに適しています．また，文字だけを拡大すること，文字列のハイライト，検索，辞書の参照，引用などの機能は使用できません．
目次
編集にあたって
まえがき
ポイント１ 多変数関数とはどんなものか
関数，函数
多変数関数の登場
2変数関数の絵を描こう
等高線と俯瞰図の例
峠の関数
3変数関数
等関数面
4変数関数
n変数関数
熱力学関数
ベクトル値関数
ポイント２ 多変数関数の微分は偏微分
多変数の傾きとは?
偏微分の定義
偏微分の書き表し方
偏導関数
偏微分を計算しよう
合成関数も偏微分しよう
偏微分の現れる例
高次の偏微分
偏微分の順序について
偏微分順序が交換できない例
C1，C∞級は恐くない
偏微分の合成則
極座標での偏微分
ポイント３ 全微分は関数の微小変化分
関数の局所的性質
関数の変化分
多変数関数の変化分
関数の変化分の一般式を求めよう
全微分可能と偏微分可能
全微分，登場
2変数関数の方向微分係数
偏導関数から作ったベクトル：gradient
最大傾斜角
接平面
接平面であることのチェック
接するとは数学的にどう表現されるか
接平面の例
法線ベクトル
ポイント４ 多変数テイラー展開を駆使する
テイラー展開とは
関数の近似
x0のまわりでのテイラー展開
多変数関数のテイラー展開
テイラー展開と全微分の関係
多変数関数の極大・極小・鞍点
テイラー展開を用いた関数の極値問題
ヘッシアンによる関数の極大・極小の判別
等高線を描いてみよう：主軸変換
もっと多変数の場合の極値
ポイント５ 忘れてならないヤコビアン
多変数積分とヤコビアン
1変数関数の定積分は面積である
2重積分は体積となる
積分可能性
2重積分を計算しよう
積分順序の交換は可能か?
積分変数の交換
ヤコビアンの出現
忘れてならないヤコビアン
ヤコビアンの導出
ヤコビアンを用いた例
極座標変換
極座標変換を使うと計算が極端に楽である
n変数ヤコビの行列
多変数積分の変数変換公式
3次元極座標への交換公式
広義の多重積分
ポイント６ 積分経路に依存する線積分
線積分とは
線積分の定義
線積分の基本的な性質
線積分は積分経路によって値が変わる
パラメータ積分に換える
線積分を実行する
積分経路に依存する積分値
曲線の長さを求めよう
ベクトルの線積分
ベクトルの線積分のもう1つの表し方
力の仕事と線積分
保存力の場合，線積分はポテンシャルで書ける
線積分の不定積分?
ポテンシャルの例
エネルギー保存則
一般のベクトル場とポテンシャル
ベクトル場からスカラーポテンシャルを作れるか?
ポイント７ 面積分をマスターしよう
面積分とは
面積分を一言でいうと
面積分の定式化
xとyの通常の2重積分に変更する
ベクトルの外積
面積分を計算してみよう
面積分を用いて，曲面の面積を求める
一般的なパラメータ積分に換える
ベクトルの面積分
ベクトルの面積分を2重積分の形にする
ベクトルの面積分の別の表し方
ポイント８ 究極の定理，ストークスの定理
究極の定理とは
ガウスの定理
発散の別の表し方
divの意味
div(発散)のある場合とない場合の例
ガウスの定理の意味するところ
積分による証明
ガウスの定理の実際
ストークスの定理
rotAとベクトルの外積の関係
rotの意味するところ
ストークスの定理の幾何学的解釈
流れの回転の具体例
ストークスの定理の数学的証明
ストークスの定理の実際
グリーンの定理
ポイント９ ラグランジュの未定乗数法
条件つきの極値問題
ラグランジュの未定乗数法
なぜラグランジュの未定乗数法を使うのか
逆関数
2変数の場合の逆関数
陰関数
陰関数定理を作る
多変数の陰関数定理
条件つきの極大・極小
ラグランジュの未定乗数法
付帯条件が2つある場合のラグランジュの未定乗数法
微分法の再高度の技法
あとがき
さくいん
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- 自然のコレクション図鑑 幻冬舎単行本
