Description
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Die Optimierung ist einer der bedeutendsten Zweige der Mathematik mit weitreichenden Anwendungen in der Statistik, Physik, Meteorologie bis hin zur Wirtschaft und Unternehmensforschung. Ziel der Optimierung ist eine Minimierung oder Maximierung der im jeweiligen System relevanten Parameter unter einschränkenden Nebenbedingungen.Praxisbezogen führt Claus Richter in die Algorithmen der Optimierung ein. Einsteiger und Fortgeschrittene werden gleichermaßen auf den heutigen Stand der Dinge gebracht. In klaren Schritten umreißt der Autor die Grundlagen dieses Gebietes, beginnend mit Definitionen und Optimalitätsbedingungen, um sich dann direkt an den C++-Programmierer zu wenden. Der nötige mathematische Apparat, die verwendete Programmiersprache C++ und ihre Klassen werden vorgestellt. Damit stellt der Autor ein einheitliches Niveau her und wird so einer breiten Leserschaft gerecht. Im Folgenden werden 20 Verfahren der linearen, quadratischen und nichtlinearen Optimierung behandelt unddem Anwender nähergebracht. Jeder Algorithmus wird im Aufbau erläutert und an einem konkreten Beispiel demonstriert. Fünf weitere Kapitel widmen sich anwendungsbezogenen Sachverhalten, u.a. der Parameteridentifikation, optimalen Steuerung und Strukturoptimierung. Durch die Bereitstellung der diskutierten Algorithmen und Beispiele als C++-Klassen gewährleistet das Buch einen optimalen Einstieg in die Optimierung.Mit C++-Programmen zum Download unter www.wiley-vch.de/publish/dt/books/ISBN3-527-34107-2.
(Table of content)
1 EINLEITUNG1.1 Das lineare und das nichtlineare Optimierungsproblem1.2 Spezialfälle1.3 Beispiele2 GRUNDLAGEN2.1 Definitionen und Bezeichnungen2.2 Regularitätsbedingungen2.3 Optimalitätsbedingungen2.4 Optimale Kriterien für spezielle Optimierungsaufgaben2.5 Wünschenswerte Eigenschaften von Optimierungsverfahren2.6 Vom C++-Programm zum Expertensystem3 MATHEMATISCHE HILFSMITTEL3.1 Lösung von Gleichungssystemen mit der QR-Zerlegung3.2 Cholesky-Zerlegung3.3 Eindimensionale Suche3.4 Fibonacci-Verfahren3.5 Das Verfahren des Goldenen Schnitts3.6 Newton-Verfahren4 PROBLEME UND ALGORITHMEN ALS C++- KLASSEN4.1 Die Programmiersprache C++5 LINEARE OPTIMIERUNG5.1 Das Simplexverfahren5.2 Das revidierte Simplexverfahren5.3 Das Ellipsoidverfahren5.4 Weiterführende Bemerkungen6 QUADRATISCHE OPTIMIERUNG6.1 Das Relaxationsverfahre6.2 Methode der Aktiven Restriktionen von FLETCHER6.3 Das Verfahren der aktiven Restriktionen von GOLDFARB und IDNANI7 UNBESCHRÄNKTE NICHTLINEARE OPTIMIERUNG7.1 Die stochastische Suche7.2 Das Verfahren der koordinatenweisen Suche7.3 Das einfache Polytopverfahren7.4 Das Verfahren des steilsten Abstiegs7.5 Das Verfahren der konjugierten Gradienten7.6 Das Newton-Verfahren7.7 Das Newton-Verfahren mit konsistenter Approximation der Hesse-Matrix7.8 Das Verfahren der variablen Metrik8 BESCHRÄNKTE NICHTLINEARE OPTIMIERUNG8.1 Die adaptive Zufallssuche8.2 Das erweiterte Polytopverfahren8.3 Schnittebenenverfahren8.4 Das Verfahren der Sequentiellen Quadratischen Approximation8.5 Erweitertes Newton-Verfahren8.6 Verfahren mit Straffunktionen9 GLOBALISIERUNG9.1 Dämpfungs- und Regularisierungsmethoden9.2 Hybride Methoden9.3 Einbettungsverfahren10 INNERE-PUNKTE-METHODEN10.1 Das Projektionsverfahren10.2 Primal-duale Einbettungstechnik11 PARAMETERIDENTIFIKATION11.1 Das Gauÿ-Newton-Prinzip und ein darauf beruhendes SQP-Verfahre11.2 Beispiele11.3 Parameteridentifikation in Differentialgleichungen12 OPTIMALE STEUERUNG12.1 Einführung12.2 Implementierte numerische Methoden12.3 Beispiele13 STRUKTUROPTIMIERUNG13.1 Zusammenhang zwischen Bemessungsvariablen und Zustandsvariablen13.2 Lösung von Strukturoptimierungsproblemen mit SQP-Verfahren14 OPTISOFT - EIN C++-SOFTWARE-SYSTEM ZUR OPTIMIERUNG14.1 Einführung14.2 Allgemeine Informationen über Optisoft14.3 Handhabung von Optisoft14.4 Übersicht über Softwarepakete15 REFERENZMANUAL15.1 Aufbau eines C++ -Programms15.2 Datentypen15.3 Schlüsselworte15.4 Operatoren15.5 Verzweigungen15.6 Schleifen15.7 Klassen 16 LITERATUR
Contents
Vorwort XIII 1 Einleitung 1 1.1 Das lineare und das nichtlineare Optimierungsproblem 1 1.2 Definitionen und Bezeichnungen 1 1.3 Spezialfalle linearer und nichtlinearer Optimierungsaufgaben 2 1.4 Anwendungen 4 1.4.1 Strukturoptimierung 4 1.4.2 Das Least-Squares-Problem 5 1.4.3 Optimale Steuerung 6 2 Grundlagen 9 2.1 Regularitatsbedingungen 9 2.1.1 Slater-Bedingung 9 2.1.2 Abadie-Bedingung 9 2.1.3 Bedingung der linearen Unabhangigkeit LICQ 10 2.1.4 Constraint Qualification 10 2.1.5 Bemerkungen 10 2.2 Optimalitatsbedingungen 10 2.2.1 Optimalitatskriterium mittels zulassiger Richtungen 11 2.2.2 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung 11 2.2.3 Bezeichnungen 11 2.2.4 Notwendige Bedingungen 2. Ordnung 12 2.2.5 Hinreichende Bedingungen 2. Ordnung 12 2.2.6 Strenge hinreichende Bedingungen 2. Ordnung 13 2.3 Optimalitatskriterien fur spezielle Optimierungsaufgaben 13 2.4 Wunschenswerte Eigenschaften von Optimierungsverfahren 14 2.4.1 Theoretische Richtung 15 2.4.2 Empirische Richtung 17 2.5 Vom C++-Programm zum nutzerfreundlichen Softwaresystem 18 3 Mathematische Hilfsmittel 21 3.1 Das Austauschverfahren 22 3.2 Losung von Gleichungssystemen mit der QR-Zerlegung 26 3.2.1 Aufbau des Algorithmus 28 3.3 Cholesky-Zerlegung 29 3.3.1 Grundlagen des Verfahrens 29 3.3.2 Aufbau des Algorithmus 30 3.3.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 31 3.4 Fibonacci-Verfahren 31 3.4.1 Grundlagen des Verfahrens 31 3.4.2 Aufbau des Algorithmus 33 3.5 Das Verfahren des Goldenen Schnitts 34 3.5.1 Grundlagen des Verfahrens 34 3.5.2 Aufbau das Algorithmus 35 3.6 Newton-Verfahren 36 3.6.1 Grundlagen des Verfahrens 36 3.6.2 Aufbau des Algorithmus 36 3.7 Runge-Kutta-Verfahren zur Losung von Differenzialgleichungen 37 3.7.1 Weiterfuhrende Bemerkungen 40 4 Probleme und Algorithmen als C++-Klassen 43 4.1 Die Programmiersprache C++ 43 4.2 DerWeg zur objektorientierten Programmierung 44 4.3 Begriffe der objektorientierten Programmierung 45 4.4 Losungsverfahren und Probleme als Klassen 46 5 Lineare Optimierung 55 5.1 Das Simplexverfahren 56 5.1.1 Grundlagen des Verfahrens 56 5.1.2 Aufbau des Algorithmus 59 5.1.3 Konstruktion eines ersten Simplextableaus 61 5.2 Das revidierte Simplexverfahren 63 5.2.1 Grundlagen des Verfahrens 63 5.2.2 Aufbau des Algorithmus 66 5.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 67 5.4 Das Ellipsoidverfahren 67 5.4.1 Grundlagen des Verfahrens 67 5.4.2 Aufbau des Algorithmus 70 5.5 Weiterfuhrende Bemerkungen 71 6 Quadratische Optimierung 73 6.1 Das Relaxationsverfahren 74 6.1.1 Grundlagen des Verfahrens 74 6.1.2 Aufbau des Algorithmus 74 6.1.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 76 6.2 Methode der aktiven Restriktionen von Fletcher 76 6.2.1 Grundlagen des Verfahrens 76 6.2.2 Der Algorithmus 77 6.2.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 78 7 Unbeschrankte nichtlineare Optimierung 79 7.1 Das Verfahren der stochastischen Suche 80 7.1.1 Grundlagen des Verfahrens 80 7.1.2 Aufbau des Algorithmus 80 7.1.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 81 7.2 Das Verfahren der koordinatenweisen Suche 82 7.2.1 Grundlagen des Verfahrens 82 7.2.2 Aufbau des Algorithmus 82 7.3 Das einfache Polytopverfahren 83 7.3.1 Grundlagen des Verfahrens 83 7.3.2 Aufbau des Algorithmus 85 7.3.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 86 7.4 Das Verfahren des steilsten Abstiegs 87 7.4.1 Grundlagen des Verfahrens 87 7.4.2 Aufbau des Algorithmus 88 7.4.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 89 7.5 Das Verfahren der konjugierten Gradienten 89 7.5.1 Grundlagen des Verfahrens 89 7.5.2 Aufbau des Algorithmus 91 7.5.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 91 7.6 Das Newton-Verfahren 92 7.6.1 Grundlagen des Verfahrens 92 7.6.2 Aufbau des Algorithmus 93 7.6.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 94 7.7 Das Newton-Verfahren mit konsistenter Approximation der Hesse-Matrix 95 7.7.1 Grundlagen des Verfahrens 95 7.7.2 Aufbau des Algorithmus 96 7.7.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 97 7.8 Das Verfahren der variablenMetrik (Quasi-Newton-Verfahren) 97 7.8.1 Grundlagen des Verfahrens 97 7.8.2 Aufbau des Algorithmus 99 7.8.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 100 8 Beschrankte nichtlineare Optimierung 101 8.1 Die adaptive Zufallssuche 102 8.1.1 Grundlagen des Verfahrens 102 8.1.2 Aufbau des Algorithmus 103 8.1.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 104 8.2 Das erweiterte Polytopverfahren 104 8.2.1 Grundlagen des Verfahrens 104 8.2.2 Algorithmus 106 8.2.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 108 8.3 Das Schnittebenenverfahren 109 8.3.1 Grundlagen des Verfahrens 109 8.3.2 Aufbau des Algorithmus 110 8.3.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 111 8.4 Das SQP-Verfahren 112 8.4.1 Grundlagen des Verfahrens 112 8.4.2 Aufbau des Algorithmus 113 8.4.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 114 8.5 Das erweiterte Newton-Verfahren 114 8.5.1 Grundlagen des Verfahrens 114 8.5.2 Aufbau des Algorithmus 116 8.5.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 117 8.6 Verfahren mit Straf- und Barrierefunktionen 117 8.6.1 Grundlagen des Verfahrens 117 8.6.2 Der Algorithmus 119 8.6.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 120 9 Globalisierung 123 9.1 Dampfungs- und Regularisierungsmethoden 123 9.2 Hybride Methoden 127 9.3 Einbettungsmethoden 128 10 Innere-Punkte-Methoden 131 10.1 Das Projektionsverfahren 131 10.1.1 Grundlagen des Verfahrens 131 10.1.2 Aufbau des Algorithmus 133 10.1.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 136 10.2 Kurzschrittverfahren 136 10.2.1 Herleitung des Verfahrens 136 10.2.2 Beschreibung des Algorithmus 138 10.2.3 Weiterfuhrende Bemerkungen 139 11 Parameteridentifikation 141 11.1 Parameterschatzung auf der Grundlage linearer Quadratmittelprobleme 142 11.2 Nichtlineare Parameterschatzung und nichtlineare Optimierungsverfahren 145 11.3 Das Gauss-Newton-Prinzip und ein darauf beruhendes Verfahren 146 11.3.1 Aufbau des Algorithmus 147 11.4 Parameterschatzung und SQP-Verfahren 149 11.5 Parameteridentifikation in Differenzialgleichungen 150 11.5.1 Grundlagen 150 11.5.2 Weiterfuhrende Bemerkungen 152 12 Optimale Steuerung 155 12.1 Einfuhrung 155 12.2 Umwandlung in eine nichtlineare Optimierungsaufgabe 155 12.3 Aufbau des Algorithmus 156 12.4 Implementierte numerische Methoden 157 13 Form- und Strukturoptimierung 161 13.1 Zusammenhang zwischen Bemessungsvariablen und Zustandsvariablen 161 13.2 Losung von Strukturoptimierungsproblemen mit SQP-Verfahren 163 13.3 Ein weiteres Beispiel 166 14 Optisoft Ein C++-Softwaresystem zur Optimierung 167 14.1 Einfuhrung 167 14.2 Allgemeine Informationen uber Optisoft 168 14.3 Handhabung von Optisoft 170 14.3.1 Formulierung eines Problems 171 14.3.2 Auswahl des Algorithmus 182 14.4 Ubersicht uber Softwarepakete 184 Anhang A Referenzmanual 187 Anhang B Liste der Beispiele 193 Literatur 195 Stichwortverzeichnis 199
