内容説明
多くの概念が組み合わさってリーマン対称空間の構造が現れていく過程を味わう。
数学の美しさの一つは分類である。例えば正多面体は五つしかないが、リーマン対称空間も有限個の型に分類でき、この分類はE. カルタンが1920年代に完成させた。この流れを紹介することが本書の主題である。
目次
第I部 群と作用
第1章 古典群
1.1 群
1.1.1 群と部分群
1.1.2 共役類
1.1.3 剰余類
1.1.4 剰余群
1.1.5 準同型と同型
1.1.6 直積群と半直積群
1.1.7 射影と断面
1.1.8 作用と軌道
1.2 ベクトル空間
1.2.1 加群
1.2.2 行列と一次変換
1.3 古典群
1.3.1 GL, SL
1.3.2 O, U, Sp
1.3.3 SO, SU
1.3.4 O(m, n), U(m, n), Sp(m, n)
1.3.5 SO(m, n), SU(m, n)
1.3.6 Sp, SO*
1.3.7 群同型
1.3.8 包含関係
第2章 位相群
2.1 位相空間
2.1.1 位相
2.1.2 ハウスドルフ空間
2.1.3 コンパクト
2.1.4 局所コンパクト
2.1.5 可算開基
2.1.6 連結と弧状連結
2.1.7 収束と完備性
2.2 連続
2.2.1 同相
2.2.2 商空間
2.2.3 射影空間
2.3 位相群
2.3.1 位相群
2.3.2 等質空間
2.3.3 連続断面と同型
2.3.4 位相群の同型
2.4 リー群
2.4.1 リー群
2.4.2 リー群の等質空間
第3章 群の作用
3.1 位相変換群
3.1.1 自由
3.1.2 効果的
3.1.3 推移的
3.1.4 固定化群と等質集合
3.2 等質空間
3.2.1 連続断面と同相
3.2.2 旗多様体
3.2.3 グラスマン多様体
3.3 軌道空間
第4章 群の分解
4.1 GL(n,C) の岩沢分解
4.1.1 グラム・シュミットの直交化法
4.1.2 岩沢分解
4.2 GL(n,C) のカルタン分解
4.2.1 行列の対角化
4.2.2 正定値エルミート行列
4.2.3 カルタン分解
4.3 GL(n,C) の極分解
4.3.1 GL(n,C) の極分解
4.3.2 GL(n,C)Herm+(n,C)
4.4 GL(n,C) のブリュア分解
4.4.1 GL(n,C) のブリュア分解
4.4.2 BFlag(n,C)
4.5 その他の群の分解と軌道分解
4.5.1 GL(n,R)Flag(n,R)
4.5.2 GL(n,R)Sym(n,R)
4.5.3 SL(2,C)P1(C)
第II部 リー群と対称空間
第5章 リーマン対称空間
5.1 多様体
5.1.1 写像の微分
5.1.2 多様体
5.1.3 接空間
5.1.4 ベクトル場と積分曲線
5.1.5 リーマン多様体
5.1.6 測地線
5.1.7 等長変換群
5.2 リーマン対称空間
5.2.1 対称
5.2.2 等長変換群と等質性
5.2.3 対称と対合
5.3 リー群の対称対
5.3.1 不変計量
5.3.2 対称空間と対称対
第6章 対称空間の分類
6.1 リー環
6.1.1 リー環とリー群
6.1.2 随伴表現
6.1.3 キリング形式と内積
6.2 半単純リー環
6.2.1 コンパクトリー環
6.2.2 複素化と実型
6.2.3 カルタン部分環とコンパクト実型
6.2.4 カルタン分解
6.3 対称リー環
6.3.1 対称対のリー環
6.3.2 直交対称リー環
6.4 直交対称リー環の構造
6.4.1 直交対称リー環の型と既約性
6.4.2 双対と対称リー環
6.4.3 既約直交対称リー環の分類
6.5 対称空間の分類
6.5.1 リーマン対称空間の構造
6.5.2 リーマン対称空間の分類
6.6 単連結でないリーマン対称空間
6.7 分類リスト
第7章 いろいろな例
7.1 ローレンツ群
7.1.1 軌道と等質空間
7.1.2 X+-(1) の理想境界
7.2 SU(2) の随伴表現
7.2.1 SU(2) とSO(3)
7.2.2 SL(2,C) とSO0(1,3)
7.2.3 SL(2,R) とSO0(1,2)
7.2.4 SL(2,C) の等質空間
7.3 SL(2,R) とSU(1,1)
7.3.1 SL(2,R)P1(C)
7.3.2 SL(2,R)双曲面
7.3.3 ケーリー変換
7.4 対合と対称と双対
7.4.1 SO0(1, 3) の対合と対称リー環
7.4.2 双曲面上の対称
7.4.3 SL(2,R) の対合と対称リー環
7.4.4 双対対称リー環
参考文献
記号表
索引
