幾何学入門教室 - 線形代数から丁寧に学ぶ

著者名：藤岡敦

共立出版（2024/07発売）

• ISBN：9784320115552

内容説明

本書は、幾何学を学ぶにあたって入門となるべき内容を扱ったものであり、２次超曲面と呼ばれる幾何的対象の分類を目標とした。本書は、数学者クラインが大学教授就任にあたり示した「エルランゲン目録」とよばれる指針にしたがって書かれている。線形代数の初歩を予備知識として、集合・写像といった基礎的な内容からはじめ、代数的概念である群とその作用について述べつつ、幾何学に入門することを目指す。多くの例題・演習問題と丁寧な解答例が載っており、自習にもおすすめである。

目次

表紙
まえがき
目　次
第1章　集　合
1.1 集合とベクトル空間
1.1.1 集合の定義と数からなる集合
1.1.2 集合の元と数ベクトル空間
1.1.3 ベクトル空間
1.1.4 零ベクトルと逆ベクトル
1.1.5 相等関係
1.1.6 外延的記法と内包的記法
1.1.7 空集合，有限集合，無限集合
1.1.8 包含関係
1.1.9 ベクトル空間の部分空間
1.2 集合の演算
1.2.1 和，共通部分，差
1.2.2 和と共通部分に関する基本的性質
1.2.3 差に関する基本的性質
1.2.4 ド・モルガンの法則
1.2.5 ベクトルが生成する部分空間
1.2.6 和空間
1.2.7 ベクトル空間の直和
章末問題
第2章　写　像
2.1 写像と線形写像
2.1.1 写像の定義と例
2.1.2 相等関係
2.1.3 直積とグラフ
2.1.4 行列の演算
2.1.5 線形写像
2.1.6 像と逆像
2.1.7 線形写像の像と核
2.2 合成写像と逆写像
2.2.1 合成写像
2.2.2 全射と単射
2.2.3 行列の基本変形と階数
2.2.4 行列を用いて定められる線形写像
2.2.5 逆写像
2.2.6 正則行列
章末問題
第3章　ユークリッド空間の等長変換
3.1 直交行列と行列式
3.1.1 直交行列の定義と例
3.1.2 置換
3.1.3 行列式の定義
3.1.4 行列式の基本的性質
3.1.5 積の行列式
3.1.6 直交行列の行列式
3.2 ユークリッド空間と等長変換
3.2.1 実ベクトル空間の内積
3.2.2 内積空間のノルム
3.2.3 基底
3.2.4 正規直交基底
3.2.5 内積空間の距離
3.2.6 等長変換
3.2.7 等長変換の具体的表示
3.3 等長変換の幾何学的意味
3.3.1 1 次および2 次の直交行列
3.3.2 固有値と固有ベクトル
3.3.3 3 次の直交行列
3.3.4 直交行列の標準形
3.3.5 鏡映
章末問題
第4章　群とその作用
4.1 群
4.1.1 クラインのエルランゲン目録
4.1.2 群の定義と例
4.1.3 半群とモノイド
4.1.4 単位元と逆元
4.1.5 群に関する基本的用語
4.1.6 部分群
4.1.7 部分群となるための条件
4.1.8 準同型写像
4.1.9 準同型写像の基本的性質
4.1.10 準同型写像の像と核
4.2 同値関係と商集合
4.2.1 二項関係と同値関係
4.2.2 同値類
4.2.3 商集合
4.2.4 基底変換行列
4.2.5 表現行列
4.2.6 正方行列の相似関係
4.3 群の作用
4.3.1 作用の定義と例
4.3.2 固定部分群
4.3.3 円の対称性
4.3.4 三角形の対称性
4.3.5 二面体群
4.3.6 軌道と軌道分解
4.3.7 軌道の例
章末問題
第5章　2次超曲面
5.1 2 次超曲面と群の作用
5.1.1 2 次方程式の解
5.1.2 2 次超曲面の定義と例
5.1.3 2 次超曲面の表示
5.1.4 2 次超曲面の変換
5.1.5 等長変換群の作用
5.1.6 直交群の作用
5.1.7 対称行列の対角化
5.1.8 対称行列が正則な場合
5.2 2 次超曲面の標準形
5.2.1 2 次超曲面の中心
5.2.2 有心または無心な2 次曲線の例
5.2.3 有心または無心な2 次曲面の例
5.2.4 有心2 次超曲面の標準形
5.2.5 無心2 次超曲面の標準形
5.2.6 固有または非固有な2 次超曲面
5.2.7 2 次曲線の分類
5.2.8 固有な2 次曲面の分類
5.2.9 非固有な2 次曲面の分類
章末問題
あとがき
解答例
索　引

感想・レビュー

※以下の感想・レビューは、株式会社ブックウォーカーの提供する「読書メーター」によるものです。

[愛楊]

2024年。線形代数で群論に入門して、二次曲面で締めるという副題通りの本。関西大学の理工系の2年の授業が元になっているらしい。学部卒なら易しい。

2025/05/13