ブルーバックス 現代数学はじめの一歩 集合と位相 数学はいかに「無限」をかぞえたのか

著者名：瀬山士郎【著】

講談社（2024/02発売）

• ISBN：9784065346716

内容説明

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現代数学の二本柱「集合と位相」が楽しくわかる！

自然数と有理数の「無限の濃度」が同じ!?
実数の無限より大きな無限は存在するのか？

自然数、有理数、代数的無理数、超越数、そして実数へ。
カントール、ヒルベルト、ベルンシュタイン、デデキント……。そうそうたる数学者たちは「数」をどのように考え、そして「無限」をどのようにして数えたのか。
数えられる無限とは？　実数の無限基数「アレフ」とは？　数の近傍ε（イプシロン）って？　コンパクトとはなにか？
重要なキーワードと楽しい解説をもとに、「現代数学の景色」を一望しましょう。

＜本書まえがきより抜粋＞
世に数学嫌いの人は多いとか……。
しかし、嫌いというのは数学に関心のある証拠かもしれません。じつは分かるものなら数学を楽しんでみたい。もしかしたら数学の素顔は案外素敵かもしれない。
本書はそんな人のために、現代数学の二つの分野、「集合と位相」を解説した本です。
集合と位相、言葉からしてなんとなく現代数学の柱のようで（事実これは現代数学の大きな柱の2本です）、抽象的でかっこいいという感じもするし、いかにも数学！ という雰囲気もある。
たしかに集合と位相は現代数学の根底を形づくるもっとも重要な概念です。これらは20 世紀になって初めてきちんと確立されたものですが、数千年の歴史を持つすべての数学を展開する場を提供しています。
子供たちが算数の中で初めて出会う、もっとも素朴な「数を数える」という行為の中にさえ、集合の考え方が潜んでいるのです。
本書はそんな集合と位相を、数式をなるべく少なくして（数学の宿命でどうしても最小限の記号は使わなければなりませんが）、その意味するところをイメージとしてつかんでもらうための解説書として書かれました。
現在進行形で数学を学んでいる人にはひと味違った解説として、これから数学を学ぶ人には一種の旅行案内として、すでに数学を学んでしまった人には、自分の学んできたことを振り返り、さらに数学とつき合っていくための手引書として活用していただけることと思います。

目次

第１章　集合とは何か－－パラドックスを超えて
1.1 集合とはどんなものか
1.2 集合の計算
第２章　写像とは何か－－重要なポイント
2.1 直積集合
2.2 写像とグラフ
2.3 配置集合と集合の巾
2.4 集合の演算と写像の関係
第３章　無限をかぞえる－－カントールの活躍
3.1 有限集合の元の個数
3.2 無限集合の基数
コラム | ホテル・カントール
3.3 代数的数と超越数
3.4 実数の基数と対角線論法
コラム | ヒルベルト支配人の憂鬱
3.5 ベルンシュタインの定理
3.6 無限の階層構造
第4章　無限基数の演算－－無限をあやつる
4.1 基数の演算
4.2 基数の巾
4.3 集合的世界像
第5章　ユークリッド空間－－位相のことはじめ
5.1 位相とはどんなものか
5.2 ユークリッド空間、はじめの一歩
5.3 数直線
5.4 関数の連続性、
5.5 関数の連続性と開集合
5.6 閉区間の性質
5.7 コンパクト集合の性質
第6章　距離とは何か－－距離空間の世界
6.1 なぜ距離か
6.2 関数の連続性
第7章　位相空間－－超抽象的な世界へ
7.1 位相空間を眺める
7.2 位相空間と連続写像
7.3 もう一度、位相とは
ブルーバックス版あとがき
「集合と位相」をさらに知りたい方へ
さくいん

感想・レビュー

※以下の感想・レビューは、株式会社ドワンゴの提供する「読書メーター」によるものです。

[あべんじゃ]

位相空間とかコンパクトとかハウスドルフ空間といったものを知りたくて読んだ。序盤で集合論の復習から入り、中盤で今まで自分の中で適当だった集合の基数(濃度)を学び、終盤で集合の位相および位相空間を学べた。 元々この本は「なっとくする 集合・位相」という易しめの数学書 (大学の図書館などでくすんだ黄色の本を見かけた事がある人もいるのでは？) だったものを焼き直したものなので、並の数学系のブルーバックスに比べるとはるかに数式は多いし定理の証明もちゃんとある。目的は達せたと思うので読んでよかった。

2025/04/05

[Y. Takahashi]

大学の一般教養レベルの集合・位相の数学知識を分かりやすく説明調で教えてくれる良書。イプシロン-デルタ論法、無限の濃度、カントールの対角線論法、コンパクト性、開集合と閉集合、この辺で躓いたり知識を補充したい人にはおすすめの一冊。平面と線を一対一対応できるとは初めて知ったけど見事な証明テクニックだね。カントールの対角線論法もそうだけど、まさにエレガント。大学1年生のころに読みたかったなぁ。

2024/10/28

[takao]

（参考書） 集合論入門　赤◯　ちくま学芸文庫　名著　だ書庫410.9Se24 集合への30講　本書の次　しだこ 集合・位相入門　松阪　標準的　教科書　けだ410.8Ma92s 集合論　辻　後半が位相空間　だ書庫415.1Ts41 位相への30講　しだ 位相のこころ　森　ちくま学芸文庫　だ書庫415Mo45 現代数学概説１，２　弥永、河田　本格的な教科書。一人もしくは数人で1年かけて精読　だ書庫410.1I97　だ書庫410Ka92 選択公理と数学　増訂版　田中　専門書　学院大410.9著者記号Ta84

2024/06/19

[homhom2453]

なんとなく、集合や位相の概念のフレームを掴むことはできたように思う。惜しむらくは積読にしているうちに熟読できる時間が無くなってしまったことか。

2025/02/02

[nika]

位相空間論にはじめて触れたが、こころは分かったような気はする...？定義の３条件を満たす範囲で、集合における無限が及ぶ範囲を開集合で規定できるのが位相空間の考えであると解釈した。あってるかな？

2024/09/22