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Description
(Text)
Bolzanos 'Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie' bilden den Ausgangspunkt für sein Programm einer Neubegründung der Geometrie und der gesamten Mathematik, das ihn bis zu seinem Lebensende beschäftigte und für das er weitreichende methodologische Prinzipien entwickelte. Zu diesen Prinzipien gehört die Regel, dass die Evidenz eines Satzes nie seinen Beweis ersetzen kann und dass sich ein Beweis keiner »fremdartigen Mittelbegriffe« bedienen darf. So hat insbesondere der Begriff der Bewegung, den sogar Kant zur Geometrie zählte, in einem geometrischen Beweis nichts verloren. In Teil I beweist Bolzano »die ersten Lehrsätze von Dreiecken und Parallellinien« allein auf der Grundlage »einer künftig aufzustellenden Theorie der geraden Linie«. In Teil I der 'Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik' behandelt Bolzano den Begriff und die Einteilung der Mathematik. In Teil II werden die neuen methodologischen Prinzipien, die in den 'Betrachtungen' eingefordert und kurz angedeutet wurden, ausführlich dargestellt. In diesem Zusammenhang entwickelt Bolzano auch erstmals seine Idee vom objektiven Zusammenhang unter allen wahren Urteilen. Die diesem Zusammenhang zugrundeliegende Relation der Abfolge bildet ein zentrales Thema seiner 'Wissenschaftslehre' (1837) und spielt in fast allen wichtigen Werken Bolzanos eine tragende Rolle.
(Table of content)
Inhalt:a. Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Prag 1804)b. Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik. Erste Lieferung (Prag 1810)
(Text)
The 'Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie' marks the beginning of a life-long programme devoted to the re-organisation of geometry, and mathematics in general, according to Bolzano's own far-reaching methodological principles. Rejecting the concepts of motion, and of the plane, in the first part he proposes proofs of the »die ersten Lehrsätze von Dreiecken und Parallellinien« based only on his radical, and largely original second part: »einer künftig aufzustellenden Theorie der geraden Linie«. The first main part of the 'Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik' is devoted to the nature of mathematics and its proper classification. There is an unusually abstract definition of mathematics as »eine Wissenschaft ... die von den allgemeinen Gesetzten (Formen) handelt, nach welchen sich diese Dinge in ihrem Daseyn richten« (I, .8). The second part develops the methodological principles introduced in the 'Betrachtungen' in greater detail and introduces Bolzano's idea that, »in dem Inbegriffe aller wahren Urtheile herrscht ein gewisser Objectiver, von unserer zufälligen Subjectiven Anerkennung derselben unabhängiger Zusammenhang.« (II, . 2) This relation [Abfolge] was to become an important theme of his famous later work 'Wissenschaftslehre! (1837). An Appendix criticises Kant's theory of the construction of mathematical concepts through pure intuition.
