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Full Description
Dieses Lernbuch bietet einen anschaulichen Zugang zur Analysis, der neben den mathematischen Inhalten auch den Prozess der Ideenfindung explizit sichtbar macht. Aufgrund der ausführlichen Darstellung eignet es sich bestens sowohl für das Selbststudium, etwa im Rahmen eines Inverted-Classroom-Formats, als auch zur Nachbereitung und Ergänzung von Vorlesungen zur Analysis - auch für Studierende des Mathematik-Lehramts.
Zentrale Begriffe werden mit Beispielen oder Anwendungen vorbereitet, wodurch Studierende die Entstehung mathematischer Konzepte nachvollziehen können. Mit heuristischen Vorüberlegungen zu vielen Beweisen und wichtigen Beispielen erkennen die Leserinnen und Leser, auf welchem Weg eine mathematische Idee entstehen kann. Diese explizite Trennung zwischen der Ideenfindung und dem fertigen Text (bei dem der Weg meist nicht mehr erkennbar ist) hilft Studierenden, eine Antwort auf die Frage „Wie kommt man darauf?" zu finden. Abgerundet wird das Buch mit vielen im Text eingestreuten Aufgaben; diese ermuntern die Leserinnen und Leser zu einer aktiven Beschäftigung mit den Inhalten und den Methoden.
Contents
.- 1. Mathematisches Handwerkszeug (Naive Mengenlehre Aussagenlogik).
.- 2. Die reellen Zahlen (Körper- und Ordnungsaxiome, vollständige Induktion, Vollständigkeit und komplexe Zahlen).
.- 3. Funktionen (Funktionsbegriff und einfache Eigenschaften von Funktionen).
.- 4. Folgen und Reihen (konvergente Zahlenfolgen, unendliche Reihen, Konvergenzkriterien, absolute und bedingte Konvergenz, Produkte von Reihen, Potenzreihen, die Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen).
.- 5. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit (Definition von Grenzwerten und Stetigkeit, Wertannahme stetiger Funktionen, Logarithmen, gleichmäßige Stetigkeit).
.- 6. Differenzierbare Funktionen (Differenzierbarkeit und Ableitungsregeln, Mittelwertsätze und Anwendungen, elementare Funktionen und deren Eigenschaften, Satz von Taylor).
.- 7. Integralrechnung (Riemann-Integral, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Technik der Integration, uneigentliche Intergrale, Anwendungen der Integralrechnung).
.- 8. Vertauschung von Grenzprozessen (gleichmäßige Konvergenz).
