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Description
IX Werk Lagerungsproblemen gewidmet, bei denen aueh beliebige irre guliire Anordnungen in Betraeht gezogen werden. Die reguliire Gestalt der Extremalfigur ist hier oft eine Folgerung dey Extremalforderung. Wir erwahnen zwei typisehe Probleme. 1. In welcher Anordnung haben die meisten Hellerstiieke auf einem "groBen" Tisch Platz? Die Antwort ist, daB jeder Heller sechs andere beriihren muB. Die beste Anordnung wird daher von selbst gitterformig. 2. Betraehten wir zwolf Punkte einer fest en Kugel. In welcher Lagerung wird das Volumen der konvexen Hiille der Punkte maximal? Diese Aufgabe fiihrt uns zum reguHiren Ikosaeder. Das erste Problem, d. h. das Problem der dichtesten ebenen Kreis lagerung, wurde von dem groBen norwegisehen Zahlentheoretiker A. TRUE in einer Jugendarbeit (1892) gelOst. Dann kam eine groBere Pause in der EntwiekIung in dieser Riehtung, so daB die meisten Er gebnisse, die wir hier behandeln wollen, Friiehte etwa der letzten 10 his 12 Jahre sind. In einem Lehrbueh wurde dieser Problemkreis noeh nieht bearbeitet. I. Einige elementargeometrische Sätze.- 1. Konvexe Gebiete.- 2. Affinität und Polarität.- 3. Extremaleigenschaften der regulären Polygone.- 4. Das isoperimetrische Problem.- 5. Einige Dreiecksungleichungen.- 6. Der Eulersche Polyedersatz.- 7. Die regulären und halbregulären Körper.- 8. Polare Dreiecke, der Lexellsche Kreis.- 9. Einige vektoralgebraische Identitäten.- 10. Einige Formeln der sphärischen Trigonometrie.- 11. Geschichtliche Bemerkungen.- II. Sätze aus der Theorie der konvexen Körper.- 1. Der Auswahlsatz von Blaschke.- 2. Die Jensensche Ungleichung.- 3. Sätze von Dowker.- 4. Eine Extremaleigenschaft der Ellipse.- 5. Über den Affinumfang.- 6. Variationsprobleme bezüglich der Affinlänge.- 7. Die Grundtatsachen der Integralgeometrie.- 8. Geschichtliche Bemerkungen.- III. Lagerungs- und Überdeckungsprobleme in der Ebene.- 1. Dichtigkeit eines Bereichsystems.- 2. Das Problem der dichtesten Kreislagerung und dünnsten Kreisüberdeckung.- 3. Einige Beweisansätze.- 4. Ausfüllung und Überdeckung eines konvexen Bereiches durch kongruente Kreise.- 5. Zerlegung eines konvexen Gebietes in konvexe Gebiete.- 6. Ausfüllung eines konvexen Bereiches durch Kreise von n verschiedenen Größen.- 7. Abschätzungen für inkongruente Kreise.- 8. Ein weiterer Kreisüberdeckungssatz.- 9. Zerlegung eines konvexen Sechsecks in konvexe Teilvielecke.- 10. Ausfüllung und Überdeckung eines konvexen Sechsecks durch kongruente Eibereiche.- 11. Ein Lagerungsproblem bezüglich der Affinlänge.- 12. Über eine Mittelwertformel.- 13. Geschichtliche Bemerkungen.- IV. Packungs- und Deckungswirtschaftlichkeit einer Scheibenfolge.- 1. Extremaleigenschaften des Dreiecks.- 2.Zentralsymmetrische Bereiche.- 3. Packungs- und Deckungswirtschaftlichkeit einer Scheibenfolge.- 4. Überdeckung durch zerstückelte Scheiben.- 5. Geschichtliche Bemerkungen.- V. Extremaleigenschaften der regulären Polyeder.- 1. Ausfüllung und Überdeckung der Kugelfläche durch kongruente Kugelkappen.- 2. Einige weitere Beweise.- 3. Approximation einer Kugel durch Polyeder.- 4. Volumen eines umbeschriebenen Polyeders.- 5. Volumen eines einbeschriebenen Polyeders.- 6. Ungleichungen zwischen dem In- und Umkugelhalbmesser eines Polyeders.- 7. Isoperimetrische Probleme bei Polyedern.- 8. Eine allgemeine Ungleichung.- 9. Über das kürzeste Netz, das die Kugelfläche in flächengleiche konvexe Teile zerlegt.- 10. Über die Kantenlängensumme eines Polyeders.- 11. Das dünnste gesättigte Kugelkappensystem.- 12. Approximation einer Eifläche durch Polyeder.- 13. Geschichtliche Bemerkungen.- VI. Irreguläre Lagerungen auf der Kugel.- 1. Der zu einem Punktsystem gehörige Graph.- 2. Die Maximalfigur für n = 7.- 3. Die Maximalfigur für n = 8 und 9.- 4. Einige Lagerungen von mehr als 9 Punkten.- 5. Tabellarische Übersicht.- 6. Geschichtliche Bemerkungen.- VII. Lagerungen im Raum.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Das Problem der engsten Kugelpackung.- 3. Über eine extremale Raumeinteilung.- 4. Die Mittelwertformel im Raum.- 5. Geschichtliche Bemerkungen.- Anmerkungen.- Namen- und Sachverzeichnis.
Contents
I. Einige elementargeometrische Sätze.- § 1. Konvexe Gebiete.- § 2. Affinität und Polarität.- § 3. Extremaleigenschaften der regulären Polygone.- § 4. Das isoperimetrische Problem.- § 5. Einige Dreiecksungleichungen.- § 6. Der Eulersche Polyedersatz.- § 7. Die regulären und halbregulären Körper.- § 8. Polare Dreiecke, der Lexellsche Kreis.- § 9. Einige vektoralgebraische Identitäten.- § 10. Einige Formeln der sphärischen Trigonometrie.- § 11. Geschichtliche Bemerkungen.- II. Sätze aus der Theorie der konvexen Körper.- § 1. Der Auswahlsatz von Blaschke.- § 2. Die Jensensche Ungleichung.- § 3. Sätze von Dowker.- § 4. Eine Extremaleigenschaft der Ellipse.- § 5. Über den Affinumfang.- § 6. Variationsprobleme bezüglich der Affinlänge.- § 7. Die Grundtatsachen der Integralgeometrie.- § 8. Geschichtliche Bemerkungen.- III. Lagerungs- und Überdeckungsprobleme in der Ebene.- § 1. Dichtigkeit eines Bereichsystems.- § 2. Das Problem der dichtesten Kreislagerung und dünnsten Kreisüberdeckung.- § 3. Einige Beweisansätze.- § 4. Ausfüllung und Überdeckung eines konvexen Bereiches durch kongruente Kreise.- § 5. Zerlegung eines konvexen Gebietes in konvexe Gebiete.- § 6. Ausfüllung eines konvexen Bereiches durch Kreise von n verschiedenen Größen.- § 7. Abschätzungen für inkongruente Kreise.- § 8. Ein weiterer Kreisüberdeckungssatz.- § 9. Zerlegung eines konvexen Sechsecks in konvexe Teilvielecke.- § 10. Ausfüllung und Überdeckung eines konvexen Sechsecks durch kongruente Eibereiche.- § 11. Ein Lagerungsproblem bezüglich der Affinlänge.- § 12. Über eine Mittelwertformel.- § 13. Geschichtliche Bemerkungen.- IV. Packungs- und Deckungswirtschaftlichkeit einer Scheibenfolge.- § 1. Extremaleigenschaften des Dreiecks.- § 2.Zentralsymmetrische Bereiche.- § 3. Packungs- und Deckungswirtschaftlichkeit einer Scheibenfolge.- § 4. Überdeckung durch zerstückelte Scheiben.- § 5. Geschichtliche Bemerkungen.- V. Extremaleigenschaften der regulären Polyeder.- § 1. Ausfüllung und Überdeckung der Kugelfläche durch kongruente Kugelkappen.- § 2. Einige weitere Beweise.- § 3. Approximation einer Kugel durch Polyeder.- § 4. Volumen eines umbeschriebenen Polyeders.- § 5. Volumen eines einbeschriebenen Polyeders.- § 6. Ungleichungen zwischen dem In- und Umkugelhalbmesser eines Polyeders.- § 7. Isoperimetrische Probleme bei Polyedern.- § 8. Eine allgemeine Ungleichung.- § 9. Über das kürzeste Netz, das die Kugelfläche in flächengleiche konvexe Teile zerlegt.- § 10. Über die Kantenlängensumme eines Polyeders.- § 11. Das dünnste gesättigte Kugelkappensystem.- § 12. Approximation einer Eifläche durch Polyeder.- § 13. Geschichtliche Bemerkungen.- VI. Irreguläre Lagerungen auf der Kugel.- § 1. Der zu einem Punktsystem gehörige Graph.- § 2. Die Maximalfigur für n = 7.- § 3. Die Maximalfigur für n = 8 und 9.- § 4. Einige Lagerungen von mehr als 9 Punkten.- § 5. Tabellarische Übersicht.- § 6. Geschichtliche Bemerkungen.- VII. Lagerungen im Raum.- § 1. Allgemeine Bemerkungen.- § 2. Das Problem der engsten Kugelpackung.- § 3. Über eine extremale Raumeinteilung.- § 4. Die Mittelwertformel im Raum.- § 5. Geschichtliche Bemerkungen.- Anmerkungen.- Namen- und Sachverzeichnis.
