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Description
(Text)
Dieses Buch behandelt die allgemeine Theorie der Orthogonalpoly nome beztiglich einer nichtnegativen Belegung tiber der reellen Zahlen geraden. Ala Vorkenntnis wurde bei dem Leser - auBer den tiblichen Grundlagen der Analysis - das Absolvieren eines einftihrenden Kurses uber reelle Funktionen vorausgesetzt. Nur fur das Studium des letzten Kapitela sind einige Kenntnisse aus der Theorie der Funktionen einer komplexen Veranderlichen erforderlich;' lch hoffe, jedemLeser etwas Nutzliches zu bieten, ob er sich zwecks Anwendungen der fertigen Resul tate, um Material ftir eine Vorlesung oder ala zukiinftiger Forscher an mein Buch wendet. Auch dem Fachmann hoffe ioh manches Neue sagen zu konnen. Seit dem ersten Erscheinen der MonographIe von G. SZEGlS sind dreiBig Jahre verflossen. In diesen drei Jahrzehnten galt sein ausgezeichnetes Buch als Richtschnur fur die weitere Forschung. Die 195,9 erschienene zweite Auflage des Szegoschen Werkes brachte verhaltnismaBig wenig Erganzungen zum Original. Neuere Erscheinungen, wie die Bucher von F. TRICOMI und G. SANSONE sowie die ftir uns interessanten Teile des "Bateman Project" beschaftigen sich in erster Linie mit den speziellen Orthogonalpolynomen. Die Monographie von JA. L. GERONIMUS he·· handelt ausschlieBlich die Szegosche Theorie. Es fehIte eine zeitgemaBe nbersicht der allgemeinen Theorle der Orthogonalpolynome. lch hoffe, mit meinem Buch diese Lucke ausftillen zu konnen. Dnter "allgemeine Theorie" sei verstanden, daB aHe Resultate aus den heiden Tatsachen hergeleitet wurden, daB es sich um Polynome handelt, und daB die Folge dieser Polynome beztiglich einer vorgegebenen Belegung ein Ortho gonalsystem bildet.
(Table of content)
Erläuterung der häufig verwendeten Bezeichnungen.- I Grundlegende Eigenschaften der Orthogonalpolynome.- I. 1. Definition der Orthogonalpolynomsysteme.- I. 2. Rekursionsformel. Vorläufiges über die Lage der Nullstellen.- I. 3. Die Gauss-Jacobische Quadraturformel.- I. 4. Folgerungen aus der Quadraturformel.- I. 5. Die Markoff-Stieltjessche Ungleichung.- I. 6. Die Tschebyscheffschen und die Legendreschen Polynome.- I. 7. Einige elementare Abschätzungen der Orthogonalpolynome.- I. 8. Die Jacobischen Polynome.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel I.- II Elemente der Theorie des Hamburger-Stieltjesschen Momentenproblems.- II. 1.Über die Lösbarkeit des Momentenproblems.- II. 2. Bedingungen für die Eindeutigkeit der Lösung.- II. 3. Zusammenhang zwischen Eindeutigkeit des Momentenproblems und Approximation durch Polynome.- II. 4. Die Vollständigkeit des Systems der Orthogonalpolynome in Ld?2.- II. 5. Ein Eindeutigkeitskriterium.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel II.- III Quadraturverfahren und Interpolation über die Nullstellen der Orthogonalpolynome.- III. 1. Über die Konvergenz von Quadraturverfahren.- III. 2. Konvergenz der Interpolationspolynome im quadratischen Mittel.- III. 3. Abschätzungen der Christoffelschen Zahlen.- III. 4. Eine Abschätzung der Konvergenzgeschwindigkeit von Quadratur-verfahren.- III. 5. Abschätzung des Abstandes zweier benachbarter Nullstellen von ?n(x, ?).- III. 6. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz des Interpolationsverfahrens.- III. 7. Verhalten der Orthogonalpolynome auf der komplexen Ebene.- III. 8. Interpolation analytischer Funktionen.- III. 9. Die Verteilungsfunktion der Nullstellen.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel III.- IV Konvergenztheorie derOrthogonalpolynomreihen.- IV. 1. Grundbegriffe. Absolute Konvergenz der Orthogonalpolynomreihe.- IV. 2. Die Lebesgueschen Punkte der Funktionen aus Ld?p.- IV. 3. Starke (C,1)-Summierbarkeit der Orthogonalpolynomreihe.- IV. 4. Approximationseigenschaften der (C,1)-Summen.- IV. 5. Konvergenzkriterien.- IV. 6. Bemerkungen über »Konvergenz fast überall«.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel IV.- V Die Theorie.- V. 1. Die Orthogonalpolynome auf dem Einheitskreise.- V. 2. Die Szegösche Extremumaufgabe.- V. 3. Die Szegösche Funktion und die Funktionenklassen Hd?2.- V. 4. Asymptotik der Orthogonalpolynome (Erster Teil).- V. 5. Asymptotik der Orthogonalpolynome (Fortsetzung). Die Klasse Lip (1/2,2). Lokalisation der Gültigkeit der Asymptotik.- V. 6. Asymptotische Formel für die Christoffelschen Zahlen.- V. 7. Ergänzungen zu der Konvergenztheorie der Orthogonalpolynomreihen.- V. 8. Asymptotischer Wert des Abstandes benachbarter Nullstellen.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel V.- Nachwort über offene Probleme.- Bibliographie.- Namenverzeichnis.- Tabelle III. A. Quadraturverfahren, Interpolation.- Tabelle V. B. Asymptotische Formel.
Contents
Erläuterung der häufig verwendeten Bezeichnungen.- I Grundlegende Eigenschaften der Orthogonalpolynome.- § I. 1. Definition der Orthogonalpolynomsysteme.- § I. 2. Rekursionsformel. Vorläufiges über die Lage der Nullstellen.- § I. 3. Die Gauss-Jacobische Quadraturformel.- § I. 4. Folgerungen aus der Quadraturformel.- § I. 5. Die Markoff-Stieltjessche Ungleichung.- § I. 6. Die Tschebyscheffschen und die Legendreschen Polynome.- § I. 7. Einige elementare Abschätzungen der Orthogonalpolynome.- § I. 8. Die Jacobischen Polynome.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel I.- II Elemente der Theorie des Hamburger-Stieltjesschen Momentenproblems.- § II. 1.Über die Lösbarkeit des Momentenproblems.- § II. 2. Bedingungen für die Eindeutigkeit der Lösung.- § II. 3. Zusammenhang zwischen Eindeutigkeit des Momentenproblems und Approximation durch Polynome.- § II. 4. Die Vollständigkeit des Systems der Orthogonalpolynome in Ld?2.- § II. 5. Ein Eindeutigkeitskriterium.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel II.- III Quadraturverfahren und Interpolation über die Nullstellen der Orthogonalpolynome.- § III. 1. Über die Konvergenz von Quadraturverfahren.- § III. 2. Konvergenz der Interpolationspolynome im quadratischen Mittel.- § III. 3. Abschätzungen der Christoffelschen Zahlen.- § III. 4. Eine Abschätzung der Konvergenzgeschwindigkeit von Quadratur-verfahren.- § III. 5. Abschätzung des Abstandes zweier benachbarter Nullstellen von ?n(x, ?).- § III. 6. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz des Interpolationsverfahrens.- § III. 7. Verhalten der Orthogonalpolynome auf der komplexen Ebene.- § III. 8. Interpolation analytischer Funktionen.- § III. 9. Die Verteilungsfunktion der Nullstellen.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel III.- IV Konvergenztheorie derOrthogonalpolynomreihen.- § IV. 1. Grundbegriffe. Absolute Konvergenz der Orthogonalpolynomreihe.- § IV. 2. Die Lebesgueschen Punkte der Funktionen aus Ld?p.- § IV. 3. Starke (C,1)-Summierbarkeit der Orthogonalpolynomreihe.- § IV. 4. Approximationseigenschaften der (C,1)-Summen.- § IV. 5. Konvergenzkriterien.- § IV. 6. Bemerkungen über »Konvergenz fast überall«.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel IV.- V Die Theorie.- § V. 1. Die Orthogonalpolynome auf dem Einheitskreise.- § V. 2. Die Szegösche Extremumaufgabe.- § V. 3. Die Szegösche Funktion und die Funktionenklassen Hd?2.- § V. 4. Asymptotik der Orthogonalpolynome (Erster Teil).- § V. 5. Asymptotik der Orthogonalpolynome (Fortsetzung). Die Klasse Lip (1/2,2). Lokalisation der Gültigkeit der Asymptotik.- § V. 6. Asymptotische Formel für die Christoffelschen Zahlen.- § V. 7. Ergänzungen zu der Konvergenztheorie der Orthogonalpolynomreihen.- § V. 8. Asymptotischer Wert des Abstandes benachbarter Nullstellen.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel V.- Nachwort über offene Probleme.- Bibliographie.- Namenverzeichnis.- Tabelle III. A. Quadraturverfahren, Interpolation.- Tabelle V. B. Asymptotische Formel.
