出版社内容情報
数学を学ぶと気になる公理的集合論の話題を、いま注目の研究トピックにも触れてしっかり解説。集合論へ踏み出す一歩となる入門書。
【目次】
第1章 順序数とはなにか？――「長い」数学的帰納法と再帰的定義
1.1 イントロダクション
1.2 きっかけ
1.3 数学的帰納法について考える
1.4 整列集合と数学的帰納法
1.5 再帰的定義について考える
1.6 整列集合と再帰的定義
1.7 順序数
1.8 まとめ
第2章 順序数の性質と使い方――「長い」数学的帰納法と再帰的定義の応用
2.1 イントロダクション
2.2 おさらい
2.3 順序数の例と基本的な性質
2.4 「長い」数学的帰納法・再帰的定義とその応用
2.5 まとめ
第3章 集合とクラス――「大きすぎる」あつまりとパラドックス
3.1 イントロダクション
3.2 おさらい
3.3 順序数全体というあつまり
3.4 集合全体というあつまり
3.5 「定義可能である」は数学の条件？
3.6 集合論の公理系に至るまで
3.7 集合論の公理系ZFCと分出公理
3.8 新しい記号を用いた定義拡張
3.9 集合とクラス
3.10 まとめ
第4章 置換公理――順序数をたくさん生み出す公理
4.1 イントロダクション
4.2 おさらい
4.3 置換公理
4.4 置換公理と順序数ω1
4.5 置換公理と基数
4.6 集合の濃度
4.7 置換公理は本当に必要なのか？
4.8 まとめ
第5章 正則性公理――集合全体上の数学的帰納法と再帰的定義
5.1 イントロダクション
5.2 おさらい
5.3 整列集合から整礎集合へ
5.4 整礎集合から整礎クラスへ
5.5 正則性公理
5.6 累積された階層(Vα|α∈Ord)
5.7 集合のランク
5.8 正則性公理はなぜ公理なのか？
5.9 まとめ
第6章 集合のランクの使い方――スコットのトリックとその応用
6.1 イントロダクション
6.2 おさらい
6.3 編集部の方からのコメント
6.4 クラスの商とスコットのトリック
6.5 集合の濃度の定式化
6.6 収集原理
6.7 モストフスキー潰し
6.8 推移的な構造の間の同型写像
6.9 まとめ
第7章 集合論のモデル――証明できないことを証明するにはどうすればよいか？
7.1 イントロダクション
7.2 おさらい
7.3 三つの出来事
7.4 証明とはなにか？
7.5 証明不可能性と集合論のモデル
7.6 集合論のモデルの例
7.7 三つの出来事で登場する集合論のモデル
7.8 まとめ
第 8 章 選択公理と論理式の絶対性――どういう命題は選択公理を仮定せずに証明できるか？
8.1 イントロダクション
8.2
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