出版社内容情報
微分方程式は「解けない」ものがほとんどであるが、中には「解ける」ものも存在する。では、解ける微分方程式はなぜ解けるのだろうか？解ける微分方程式の代表格である「リッカチ方程式」を取り上げ、解ける理由や仕組みを「解けるひみつ」をもつ可積分系や微分ガロア理論を通して解明した旧版から15年の時を経て、増補版としてリニューアル。本書では、リッカチ方程式の意外な応用として近年注目されている「工業意匠設計への応用」を付録に追加したほか、関連する文献をより充実させた。
【目次】
第1章 常微分方程式
1.1 不定積分
1.2 変数分離形
1.3 1階線型常微分方程式
1.4 リッカチ方程式
1.5 複比
第2章 射影変換と複比
2.1 無限遠点
2.2 射影直線
2.3 リッカチ方程式の対称性
第3章 行列の指数函数
3.1 ベクトル値函数
3.2 行列値函数の微分
3.3 テイラー展開
3.4 ノルム
3.5 基本列
第4章 1径数群
4.1 簡単な例
4.2 指数法則
4.3 公式をつくる
4.4 指数函数の連続性
4.5 1径数群
第5章 ベクトル場
5.1 接ベクトル
5.2 領域
5.3 方向微分
5.4 ベクトル場
第6章 流れ
6.1 曲線の接ベクトル場
6.2 積分曲線
6.3 ベクトル場の完備性
6.4 線積分
6.5 渦度
第7章 完全微分方程式
7.1 曲線の表示方法
7.2 解曲線
7.3 ポテンシャルをもつ場合
7.4 積分因子
7.5 積分因子の見つけ方
7.6 変数分離形
7.7 線型微分方程式
第8章 1径数変換群の不変函数
8.1 不変量について復習
8.2 変数分離形の1径数変換群
8.3 線型常微分方程式の1径数変換群
8.4 不変函数
8.5 不変図形
第9章 リーの定理
9.1 導函数の変化
9.2 延長
9.3 ベクトル場の延長
9.4 不変微分方程式
9.5 不変微分方程式の例
9.6 予想の検証
第10章 射影変換とベクトル場
10.1 岩澤分解
10.2 線型リー群
10.3 リー環
10.4 1次分数変換への応用
10.5 直線上のベクトル場
10.6 射影変換の定めるベクトル場
10.7 力学への応用
第11章 リッカチ方程式の解けるひみつ
11.1 リー型微分方程式
11.2 斉次方程式
11.3 定数変化法
11.4 リッカチ方程式のひみつとは
11.5 リーの夢
第12章 リウヴィル方程式
12.1 グラム-シュミット分解
12.2 随伴作用
12.3 リウヴィル方程式
12.4 リウヴィル方程式を解く
12.5 戸田格子へ
第13章 KdV方程式
13.1 点の運動
13.2 射影曲率
13.3 運動の連続変形
13.4 逆散乱法へ
13.5 最後に
付録A 微分学
付録B リッカチの方程式
付録C ローレンツ変換
付録D ベーカー-キャン
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