出版社内容情報
対称多項式の基礎から、最先端の内容である非可換シューア関数理論までを易しく解説。
対称多項式は数学の多様な分野で用いられる対象であり、その性質は代数方程式の解法や組合せ論に深く関わっている。対称多項式にはさまざまな種類があり、それらに名前を付けて整理するのにヤング図形が役立つ。
本書は、学部レベルの線形代数・代数学の知識を前提としてMacdonaldの教科書の内容を踏襲しながらも、余代数や双代数といった難解な部分に解説を加えることで、対称多項式の入門書を目指した。「解と係数の関係」として対称多項式に触れたことがある読者も、より広い応用を見つけることができるように工夫している。
本書のもう一つのテーマは非可換シューア関数の紹介である。重要なFomin-Greeneの定理を中心に、非可換変数でも従来の対称多項式理論と類似の構造が構築できることを示す。
【目次】
第1章 対称多項式
1.1 ヤング図形とヤング盤
1.2 n変数対称多項式の環
1.3 対称関数の環
1.4 対称関数の生成関数と関係式
1.5 Λの生成元について
1.6 行列式の方法
1.7 双代数構造
1.8 Hall内積
第2章 シューア作用素とシューア関数
2.1 シューア多項式の定義
2.2 双線形形式と随伴作用素
2.3 ピエリの公式とコーシーの恒等式
2.4 転置
2.5 シューア関数
第3章 非可換シューア関数
3.1 行列式と非交差経路
3.2 クヌース関係式と非可換シューア関数
3.3 定理3.5の証明
第4章 非可換シューア関数の応用
4.1 シューア関数の積の展開公式
4.2 非可換超対称関数
第5章 外積加群上の線形作用素
5.1 テンソル加群・外積加群
5.2 誘導された線形作用素
5.3 上昇作用素
第6章 応用：シューア関数以外の対称関数たち
6.1 逆平面分割の生成関数
6.2 非可換シューア関数を用いたgλ/μの構成
6.3 gλ/μの行列式公式
6.4 相補作用素・随伴作用素
6.5 ピエリの公式
6.6 双対関数について
練習問題略解
