ブルーバックス 不完全性定理とはなにか 完全版―ゲーデルとチューリング 天才はなにを証明したのか

竹内 薫【著】

講談社（2024/11発売）

• サイズ 新書判／ページ数 288p／高さ 18cm
• 商品コード 9784065362266
• NDC分類 410.9
• Cコード C0241

出版社内容情報

正しくても常に証明できるとはかぎらない。

ゲーデルの不完全性定理は、公理と推論規則から数学全体を導こうと考えていた、当時の数学界に衝撃を与えました。
チューリングは「決定問題」を考察するなかで、チューリング機械という仮想の計算機から「計算可能性と停止問題」に行き着つきます。
2人は同じことを全く別の視点から証明したのです。この天才たちの思考の軌跡を、集合論、ロジックとその過程を考えながら楽しく読み解いていきたいと思います。

「そうですね……ゲーデルは、数学者が紙と鉛筆で証明をおこなうプロセスを厳密に考察しました。その結果、算数の計算ができるような理論があったとして、その理論の内部では証明できないことがある 、という結論に達しました。で、チューリングは、証明のかわりに計算の本質を追究した結果、無限ループに陥って計算が終わるかどうかわからない、いいかえると、計算できないことがある、という結論に達しました。どうです？　似てませんか？」（「プロローグ」より）

完全版　特別対談収録！
加藤文元×竹内 薫
不完全性定理――数学と哲学の交差点から

内容説明

正しくても常に証明できるとはかぎらない。ゲーデルの不完全性定理は、公理と推論規則から数学全体を導こうと考えていた、当時の数学界に衝撃を与えました。チューリングは「決定問題」を考察するなかで、「チューリング機械」という仮想的な計算機から「計算可能性と停止問題」に行き着きます。二人は同じことを全く別の視点から証明したのです。天才たちの思考の軌跡を楽しく見ていきましょう。

目次

第０章　こころの準備（公理から集合まで；いわゆる３ワカランについて；この本の構成と読み方）
第１章　無限に挑んだドン・キホーテ、ゲオルク・カントール（まちがいだらけと揶揄されたカントール；無限ホテルの怪　ほか）
第２章　ラッセル卿の希望を打ち砕いたクルト・ゲーデル（ラテン語の文法を完全にマスターした子供；論理学超入門（真偽表）　ほか）
第３章　チューリングの辞書に「停まる」という文字はない（チューリングの肖像；友人の死と心脳問題　ほか）
第４章　Ω数、様相論理、エトセトラ（グレゴリー・チャイティンとΩ数；いろいろな不完全性　ほか）
特別対談　不完全性定理―数学と哲学の交差点から　加藤文元×竹内薫

著者等紹介

竹内薫［タケウチカオル］
サイエンス作家。１９６０年生まれ。東京大学教養学部教養学科、同大学理学部物理学科卒業。マギル大学大学院博士課程修了（高エネルギー物理学専攻、理学博士）。「サイエンスＺＥＲＯ」（ＮＨＫＥテレ）の司会を長く務め、科学コミュニケーターとしても広く知られる。また、教育にも強い関心を持っており、ＹＥＳ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｓｃｈｏｏｌ校長も務める（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）
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感想・レビュー

※以下の感想・レビューは、株式会社ブックウォーカーの提供する「読書メーター」によるものです。

[まえぞう]

不完全性定理のポピュラーサイエンスものです。私が数学を覗くなかでも、最もついていけないのがこの不完全性定理です。著名なサイエンスライターの竹内さんですからなんとかなると期待しましたが、うっすら、ぼんやりのままです。もう一度数学ガールを読んでみます。

2024/12/21

[LUNE MER]

メタ数学の代表選手でもあり、数学を専攻した人よりもむしろ文学部で哲学を専攻した人の方が馴染みがあるかもしれない？と個人的に思っているゲーデルの不完全性定理。定理の結論もかなりショッキングなのだけど、その証明方法のアイデア(対角線論法とそこに議論を落とし込むテクニック)の絶妙さ。「メチャクチャ数学のセンスがある人でないとちんぷんかんぷん」というレベルではなくて「絶対思いつかないけど、言われてみれば何とか追いかけられなくもない」というなかなかない例。読み物として普通に面白い一冊。

2024/12/26

[呼吸器内科医K]

数学ガール読後に読んだけどやっぱり難しい。カントールの対角線論法やチューリングの計算機がすごいのはなんとなく分かった。でもゲーデル本人が言っていることとその筋道はやはり追えない。ぐるぐるループするような混乱にいつも陥る。あと理解できないのは「無限ホテル」だなあ。最初に「満席です」と言ってるけれども、無限に対して満席と言えるのか？後ろに部屋を一つずつずらせるなら、最初から満席じゃなくないか？と思ってしまう。

2025/03/02

[カッパ]

「数学の矛盾のない理論、ある無矛盾なシステムにおいて、そのシステム内では、真だけれども証明できない数式がある、ということであり、システムの外にいる人間については、何も語ってはいない。」つまりシステムの外に立てば証明ができるのか？バージョンアップし続けると新たな理論ができるのか？若い時に読んだゲーデルエッシャーバッハを読んだ時の衝撃がよみがえりました。

2025/02/13