解析力学と微分形式

著者名：深谷賢治【著】

岩波書店（2024/11発売）

• ISBN：9784000299367

内容説明

幾何学的側面を強調した，解析力学あるいはハミルトン方程式の教科書．座標変換は微分方程式を解くための有効な方法であるが，微分形式とはさまざまな演算が座標変換で不変であるように工夫された概念である．これを縦横に使うことにより，ハミルトン方程式の座標不変な性質を調べる．『電磁場とベクトル解析』の続編．※この電子書籍は「固定レイアウト型」で作成されており，タブレットなど大きなディスプレイを備えた端末で読むことに適しています．また，文字だけを拡大すること，文字列のハイライト，検索，辞書の参照，引用などの機能は使用できません．

目次

まえがき
目次
数学記号・ギリシャ文字
第1章　ユークリッド空間上のハミルトン・ベクトル場
1.1　ベクトル場と積分曲線
（a）積分曲線
（b）勾配ベクトル場の積分曲線
1.2　1次元空間上の運動
（a）ハミルトン・ベクトル場
（b）ハミルトン系の性質と最初の計算例
（c）ニュートンの運動方程式
1.3　2次元空間上の運動
（a）平面上の運動
（b）角運動量
（c）ニュートンの運動方程式とケプラーの法則
1.4　変分原理
（a）道の空間上での極大極小
（b）変分原理Ⅰ
（c）オイラー－ラグランジュ方程式
（d）変分原理Ⅱ
（e）ハミルトニアンとラグランジアンの関係
まとめ
演習問題
第2章　ベクトル場と微分形式
2.1　ベクトル場の座標変換
（a）常微分方程式の変数変換
（b）ベクトル場の座標変換
（c）ベクトル場の記号
（d）オイラー－ラグランジュ方程式の座標変換
（e）ベクトル場の微分と座標変換
2.2　微分形式
（a）3次元空間の中の微分形式
（b）3次元空間の中の微分形式の外微分
（c）一般次元の空間の中の微分形式
（d）微分形式の引き戻し
（e）微分形式の概念の座標不変性
2.3　微分形式の積分とストークスの定理
（a）微分形式の積分
（b）ベクトル場の微分と微分形式の外微分
（c）ストークスの定理，ガウスの定理
（d）軸性ベクトルと極性ベクトル
2.4　1径数変換群と無限小変換
（a）ベクトル場の1径数変換群
（b）1径数変換群の性質
（c）群とその作用
（d）括弧積
（e）ユークリッド合同変換群の無限小変換
（f）剛体の運動の表示
まとめ
演習問題
第3章　ハミルトン系と微分形式
3.1　正準変換
（a）正準変換
（b）正準変換の作り方（1）――点変換
（c）正準変換の作り方（2）――生成関数
（d）変分原理と正準変換
（e）ハミルトン－ヤコビの方法
3.2　ハミルトン系の対称性とネーターの定理
（a）無限小正準変換
（b）ベクトル場と微分
（c）ポアソン括弧と括弧積
（d）ネーターの定理
（e）角運動量
3.3　完全積分可能系
（a）逆2乗力の摂動
（b）準周期解
（c）非有理回転
（d）2自由度完全積分可能系
3.4　曲面上の測地線
（a）測地線
（b）長さとエネルギー
（c）測地線を表わすハミルトン方程式
（d）測地線の方程式
（e）回転面の測地線
（f）楕円面の測地線
3.5　コマの運動
（a）慣性モーメント
（b）オイラーのコマ
（c）重力が働いているときのコマの方程式
（d）コマの方程式についての注釈
（e）オイラーの角
（f）ラグランジュのコマ
まとめ
演習問題
付録　アーノルド－リウビルの定理
（a）不変トーラスの構成
（b）解の分類
（c）R2の格子
現代数学への展望
参考書
問解答
演習問題解答
索引