秘伝 ルベーグ積分

著者名：青木貴史

共立出版（2024/07発売）

• ISBN：9784320115545

内容説明

言葉を尽して徹底的に丁寧に書き起こしたルベーグ積分の入門書。
初学者が遭遇しがちな「学びの壁」を乗り越えるための秘訣を伝授する。
本書では、面積とは何？　という素朴な問から出発して、平面のジョルダン測度およびルベーグ測度、一般の測度空間における積分論およびその応用を解説する。測度論の概要を理解し、ルベーグの収束定理、フビニの定理が使えるようになることを到達目標としている。

目次

表　紙
まえがき
本書を理解するための秘訣
第 1 章　面積とは何か
1.1　はじめに
1.2　準備：実数の性質と集合演算
1.3　長方形の面積
第 2 章　平面におけるジョルダン測度と1 次元リーマン積分
2.1　平面の基本集合
2.2　ジョルダン測度
2.3　1 次元リーマン積分
2.4　高次元化
第 3 章　ジョルダン非可測集合と測度零・ルベーグ外測度
3.1　有理数の集合
3.2　ジョルダン非可測集合
3.3　測度零の集合とルベーグ外測度
3.4　零集合の基本事項
第 4 章　ルベーグ外測度の基本性質
4.1　集合関数としてのルベーグ外測度
4.2　基本長方形のルベーグ外測度
第 5 章　ルベーグ内測度・ルベーグ測度
5.1　ルベーグ内測度
5.2　ルベーグ可測性・ルベーグ測度
5.3　ルベーグ測度と平面の位相
第 6 章　完全加法性
6.1　ルベーグ外測度とルベーグ内測度の特徴付け
6.2　ルベーグ測度の完全加法性
第 7 章　ルベーグ可測性の側面
7.1　ルベーグ可測性の位相的特徴付け
7.2　有界でない場合のルベーグ可測性
7.3　ルベーグ可測性の言い換え
7.4　n次元実数空間におけるルベーグ測度
第 8 章　カラテオドリの外測度論
8.1　カラテオドリの外測度
8.2　可測集合
8.3　ボレル集合体
8.4　可測集合族
8.5　可測集合の測度
第 9 章　測度空間
9.1　抽象的測度と測度空間
9.2　集合の極限と測度
9.3　集合列の上極限・下極限
第 10 章　可測関数
10.1　可測関数の定義
10.2　可測関数の基本性質
第 11 章　可測関数の積分
11.1　単関数とその積分
11.2　可測関数の積分
11.3　可測関数の単関数による近似
第 12 章　可積分関数
12.1　単調収束定理
12.2　可積分関数と積分の基本性質
第 13 章　積分と極限
13.1　ファトゥーの不等式
13.2　ルベーグの収束定理
13.3　概収束
第 14 章　可積分関数のなす空間
14.1　空間L^1(X)
14.2　L^1(X) の完備性
14.3　空間L^p(X)
第 15 章　実数空間におけるルベーグ測度とフビニの定理
15.1　実数空間におけるルベーグ積分
15.2　フビニの定理
問の解
参考文献
索　引

感想・レビュー

※以下の感想・レビューは、株式会社ブックウォーカーの提供する「読書メーター」によるものです。

[元よしだ]

一回目、通し読み～～ 次は二回目。。

2024/10/24

[にしもん]

ちょうど一年くらい前の発売日に買ったまま積読状態になっていたものを、最近2ヶ月くらいかけてひとまず通し読みした。ルベーグ積分の基本事項を丁寧に解説した本で、ルベーグの収束定理がメインの定理になっている。その後は関数解析のホンの導入としてL1空間の話があり、R^n上のフビニの定理を示して終わる。前書きにもあるように「ルベーグ積分30講」を種本として、省略されている証明や行間を丁寧に埋めたような仕上がり。種本のほうには概念のお気持ちの説明が重点的に書かれているため併せて読むと良いかもしれない。

2025/02/15