岩波数学叢書 数値解析の原理 - 現象の解明をめざして

著者名：菊地文雄/齊藤宣一

岩波書店（2024/03発売）

• ISBN：9784000298230

内容説明

さまざまな現象を合理的に分析するためには，現象の記述・モデル化と，そこからえられる方程式の計算が要求される．結果の信頼性は，その手法において数学の原理を活かせるかにかかっている．より深い理解に役立つよう選択した具体例から，微分方程式で表される問題の導き方，数値的に解く方法を最低限の予備知識で示す．※この電子書籍は「固定レイアウト型」で作成されており，タブレットなど大きなディスプレイを備えた端末で読むことに適しています．また，文字だけを拡大すること，文字列のハイライト，検索，辞書の参照，引用などの機能は使用できません．

目次

はじめに
第I部　基本的な数値計算法
1　現象の数理的記述と数値計算
1.1　現象の数理的記述と数値計算の役割
1.2　簡単なモデル問題とその取り扱いの例
1.3　計算機における数の表現
1.4　数学的知識と数値計算の必要性・役割
1.5　数値計算に関連する諸道具
2　連立1次方程式――直接法
2.1　直接法――Gaussの消去法
2.2　ピボットの選択
2.3　ピボット選択なしに解ける場合
2.4　逆行列
2.5　対称行列でピボット選択不要の場合の効率化
2.6　LU分解とCholesky分解
2.7　正方行列の正則性の数値的確認法
3　反復法
3.1　反復法とNewton法――1変数の場合
3.2　反復法とBanachの不動点定理
3.3　Newton法
3.4　関連する手法――広義Newton法
4　連立1次方程式――反復法
4.1　線形反復法
4.2　条件数
4.3　CG法
5　関数近似――補間など
5.1　Taylor級数とFourier級数
5.2　Lagrange補間
5.3　Hermite補間
5.4　最良近似――直交多項式
6　数値積分
6.1　定積分と区分求積法
6.2　数値積分の原理
6.3　Newton-Cotes公式
6.4　複合公式
6.5　Gaussの積分公式
6.6　凸関数に対する中点則と台形則について
6.7　多次元の数値積分
7　常微分方程式の初期値問題
7.1　常微分方程式に関する復習
7.2　初期値問題
7.3　1段法
7.4　1段法の例
7.5　連立常微分方程式の場合
7.6　1段法の収束
7.7　2階の微分方程式
8　行列の固有値問題
8.1　べき乗法
8.2　逆べき乗法
8.3　Jacobi法
8.4　一般固有値問題への拡張
第II部　偏微分方程式の数値解法
9　偏微分方程式の数値解法とは？
9.1　偏微分方程式
9.2　差分法
9.3　有限要素法
9.4　その他の手法
10　差分法
10.1　基本的な差分近似式（1変数）
10.2　熱方程式の差分近似
10.3　数値例による検証
10.4　整合性（適合性），安定性，収束性の概念と計算法の解析
10.5　Poisson方程式の境界値問題に対する差分法
10.6　1階および2階波動方程式の差分近似
11　有限要素法
11.1　1次元問題での弱定式化と変分原理
11.2　Poisson方程式と弱定式化，変分原理
11.3　変分問題の抽象論と具体的問題への適用
11.4　Ritz-Galerkin法
11.5　基本的な有限要素法
11.6　各種の有限要素
11.7　数学的誤差解析
11.8　各種の話題
11.9　結び
12　数学的知識の要約
12.1　関数解析の基礎的事項
12.2　重要な関数空間
12.3　H^1(Ω)での不等式など
12.4　主な記号と用語の補足
参考文献
索引