筑摩選書 数学の想像力 ──正しさの深層に何があるのか

著者名：加藤文元【著者】

筑摩書房（2022/09発売）

• ISBN：9784480015754

内容説明

数学は音楽に似ている。論理と感性、理性と直観等、対立するもののように思われがちだが、音楽も数学も古来、天上へつづくかのような調和の美しさで人を魅了してきた。ところが数学者たちはやがて気づく。数の世界に潜む見えない数、無限、そして緻密な論理が孕むパラドクスの深淵。しかしそこに、数学が自由に飛翔するための契機があった──。古代文明から現代まで四千年にわたる数学の歴史をたどり、人間にとって正しさとは何かを問いなおす。

目次

第１章　背理法の音楽
音楽と数学
「流れ」
「流れ」の自己相似性
論理的推論
三段論法──最小の入れ子構造
論理と流れ
音楽的な数学
背理法
背理法による証明の例
仮定の〈後出し〉
虚構の推論
間接証明
背理法の音楽
人間と数学
第２章　見よ！
ソクラテスと僕童
無邪気な信念
「見る」ということ
普遍的〈正しさ〉と証明
証明の決済としての「見る」
「無邪気な信念」の是非
「代数語を話す」という前提
正しさの認識における三要素
第３章　数を観る
円周率
素朴な計算法
その歴史
日本人の寄与
建部賢弘の計算
数を「観る」
「注目すべき事実」
証明のない〈正しさ〉
第４章　儀式としての証明
「証明する」ということ
『ユークリッド原論』
議論の形式化
「見る」の排除
厳密性の基準
明証性のコペルニクス的転回
ピタゴラスと神秘主義
ピタゴラスとピタゴラス学派
オルフェウス教の影響
見ることへの忌諱
ギリシャ的明証性の根底にあるもの
第５章　見えない正しさ
線分と数
形相か質料か
数と量
弦の長さの比
対角線の長さ
無理数
ピタゴラスの定理
通約不可能性
背理法による証明
見えない数への恐怖
計算と論証
複合的要因
第６章　無限に対する恐怖
数学の時代性・地域性
「１」は〈数〉か？
エレアのパルメニデス
「真理の道」と「臆見の道」
背理法の起源
様式化された正しさ
「運動」の否定
矢の逆理
競技場の逆理
二つの逆理が示すこと
〈無限〉に対する恐怖
第７章　無限の回避
円の面積
アルキメデス『円の計測』
アルキメデスの公理
正多角形による近似
アルキメデスによる証明
証明の構造
取り尽くし法
「アキレスと亀」の逆理
計算と論理
第８章　伝統のブレンド
現代数学への道
古代文明の数学
古代中国数学
古代インド数学
「０」の発見
中世の中国とインド
アラビア数学
数学の算術化
第９章　無限小算術
十二世紀ルネサンス
幾何学と代数学
近代西洋数学の成立
微分積分学の勃興
無限小算術の「基盤」
ゼノンの再来
論理的不整合
第10章　西洋科学的精神
西洋数学の十九世紀革命
極限概念
問題の回避
数学の解放
自然科学と数学
対象を〈作る〉
理性と信仰
「奇跡は起こっているのだ！」
エピローグ
参考文献

感想・レビュー

※以下の感想・レビューは、株式会社ドワンゴの提供する「読書メーター」によるものです。

[やまやま]

数学問題が解った時の爽快感は、理屈がスッキリととおって高台からの見晴らしのように世界を味わえるような感覚に似たものとも思われる。正しいという事実と、それをどのように感じるかという数学者らしい立論で、例えば音楽と数学の感覚の近さを説き、論証背理法に基づく音楽を作るとすればどうなるか、という思索をめぐらす。確かに運命第一楽章は「背理法の音楽」に近いのかもしれない。ゼノンの逆理を例に、古今無限に関することは直観の届く範囲を超え現実と論理的思考が一致しない場面を生じ、その解決としてモデルが生まれたと説く。

2020/06/02

[kenitirokikuti]

図書館にて。加藤氏には、望月新一の「宇宙際タイヒミュラー理論（Inter-Universal Teichmüller Theory, IUT）」を概説する本があるのだけど、再トライする前に、過去作をあたってみた。とりあえず、マルチバース理論とは全く無関係なことは把握している▲数論的代数幾何学の最前線からユークリッド『ストイケイア（原論）』を眺めている。背理法は例の神の存在証明にも使われてるが、哲学・神学の方で背理法にフォーカスした議論を読んだことないなァ…

2021/04/13

[エヌ氏の部屋でノックの音が・・・]

図書館で借りる。円の話が興味深かった。

2016/06/28

[fuku66]

建築的な要請、神との交信手段、自然科学のモデル化と、社会の影響の元に数学の在り方はドラスティックに変わっていることに驚愕。自分も高校から大学の数学の変化、特にその正しさの変貌については苦労したものだが、歴史はもっと多くの変化を経験してきたことに感動した。

2013/12/29

[こたろう]

数学における証明とはどういうことか？数学が今の数学の形になったのは？について書かれた本。 数学と言えば、ある事象を証明することだと思うが、証明するとはどいういうことか。何をもって証明とするのか、またそのやり方は？について、数式などではなく、分かりやすい例（円周率）と例えで説明してある。 今、数学界の主流になっている数学は、古代にあったアラビア、インド、中国、日本のどの流れを取り込んでいて、何が取り込まれていないのかなどについて書いてある。単に数学的に優れていることだけが重要ではなく、宗教（ここでも宗教…）

2020/08/26