共立講座数学の輝き 7 確率微分方程式

著者名：谷口説男【著】/新井仁之/小林俊行ほか【編】

共立出版（2021/09発売）

• ISBN：9784320112018

内容説明

本書は、強い解と呼ばれるマリアバン解析との融合に不可欠な確率微分方程式の解に焦点を当て、その常微分方程式的なダイナミクスとしての性質を中心に解説。さらにそれらの応用として、最後の2章で、経路空間での無限次元解析への展開、数理ファイナンスへの応用について言及している。また、測度論・確率論および他の解析学分野の諸結果に関して、少ない準備で確率微分方程式を学ぶことができるよう、なるべく他の文献を紐解くことなく読了できるように配慮した。

目次

第1 章◇ 確率論の基本概念
1.1 確率空間
1.1.1 可測空間
1.1.2 確率空間
1.1.3 確率変数
1.1.4 期待値
1.1.5 特性関数
1.1.6 独立
1.2 一様可積分
1.3 様々な収束
1.4 条件つき期待値
第2 章◇ マルチンゲール
2.1 確率過程
2.2 マルチンゲール
2.3 停止時刻
2.4 2 次変動過程
第3 章◇ ブラウン運動
3.1 ガウス型確率変数
3.2 ブラウン運動
3.3 ブラウン運動の性質
3.4 マルコフ性
第4 章◇ 確率積分
4.1 確率積分
4.2 伊藤の公式
4.3 ブラウン運動への応用
4.4 表現定理
4.5 モーメント不等式
第5 章◇ 確率微分方程式(I)
5.1 確率微分方程式の解
5.2 指数写像による近似
5.3 微分同相写像
5.4 微分同相写像の応用
第6 章◇ 確率微分方程式(II)
6.1 弱い解|マルチンゲール問題
6.2 ギルサノフの定理
6.3 熱方程式
6.4 ディリクレ問題
第7 章◇ 経路空間での微積分学
7.1 変数変換の公式
7.2 部分積分の公式
第8 章◇ ブラック-ショールズ・モデル
8.1 ブラック-ショールズ・モデル
8.2 裁定機会と同値局所マルチンゲール測度
8.3 価格付け
◇ 付録
A.1 急減少関数
A.2 ディンキン族定理
A.3 離散時間マルチンゲール
A.4 グロンウォールの不等式
A.5 補題5.14 の証明
A.6 コルモゴロフの連続性定理

感想・レビュー

※以下の感想・レビューは、株式会社ブックウォーカーの提供する「読書メーター」によるものです。

[水紗枝荒葉]

self-containedな確率解析の教科書。行間は少ないのでちゃんと証明を追いたい人におすすめ。ただし、今時珍しいくらい定義・定理・証明に徹しており「気持ち」パートが少ない（例えば停止時刻や2次変動過程の導入がきわめて不親切）。確率解析一冊目の本としては難易度が高いか。細かい点だが、確率変数の右肩に乗る文字の意味がコロコロ変わることにも注意。

2025/03/13