Description
(Text)
Die Zahlentheorie beschäftigt sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... Viele ihrer Problemstellungen, wie z. B. das Primzahlzwillingsproblem oder die berühmte Fermat'sche Vermutung, lassen sich in allgemeinverständlicher Form angeben, zu ihrer Behandlung benötigt man aber meistens anspruchsvolle Methoden der Algebra und der Analysis. Diese Zweige der Mathematik verdanken ihre Entwicklung nicht zuletzt der Faszination, welche die Zahlentheorie zu allen Zeiten ausgeübt hat.Die "Königin der Mathematik", wie Gauß die Zahlentheorie genannt hat, sah man lange als zwar schönstes, aber auch nutzlosestes Gebiet der Mathematik an. In jüngster Zeit hat sich diese Einschätzung, bedingt durch die Verfügbarkeit schneller Computer, stark geändert. Insbesondere benötigt man heute zahlentheoretische Methoden in der Kodierungstheorie und in der Kryptographie. Das Buch setzt einige Kenntnisse aus einem Grundstudium der Mathematik voraus. Es bietet zahlreiche Anwendungsbeispiele sowie eine umfangreiche Sammlung von Aufgaben mit Lösungshinweisen. Diese vorliegende, stark überarbeitete und erweiterte Auflage enthält ein zusätzliches Kapitel über zahlentheoretische Algorithmen.
(Table of content)
1 Teilbarkeit ganzer Zahlen
1.1 Die Teiler einer ganzen Zahl
1.2 Primzahlen
1.3 Primfaktorzerlegung
1.4 Eine Formel von Legendre und die Sätze von Tschebyscheff
1.5 Irrationalitätsbeweise
1.6 Der größte gemeinsame Teiler
1.7 Das kleinste gemeinsame Vielfache
1.8 Kettenbrüche
1.9 Periodische Kettenbrüche
1.10 Farey-Folgen
1.11 Die Folge der Fibonacci-Zahlen
1.12 Aufgaben
1.13 Lösungen der Aufgaben
2 Integritätsbereiche
2.1 Teilbarkeit in Integritätsbereichen
2.2 Euklidische Ringe
2.3 Die ganzen gaußschen Zahlen
2.4 Ganzalgebraische Zahlen zweiten Grades
2.5 Die pellsche Gleichung
2.6 Aufgaben
2.7 Lösungen der Aufgaben
3 Restklassen
3.1 Kongruenzen und Restklassen
3.2 Teilbarkeitskriterien
3.3 Der Satz von Fermat
3.4 Primitive Restklassen
3.5 Dezimalbrüche
3.6 Ewiger Kalender
3.7 Magische Quadrate
3.8 Primzahlkriterien und Pseudoprimzahlen
3.9 Mersennesche und fermatsche Primzahlen
3.10 Aufgaben
3.11 Lösungen der Aufgaben
4 Zahlentheoretische Algorithmen
4.1 Codierung
4.2 Prüfzeichen
4.3 Krypthograhie
4.4 Öffentliche Chiffriersysteme
5 Kongruenzen und diophantische Gleichungen
5.1 Lineare und diophantische Gleichungen und Kongruenzen
(Author portrait)
Prof. Dr. Harald Scheid ist Professor für Mathematik und ihre Didaktik an der Bergischen Universität - Gesamthochschule Wuppertal.
