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Full Description
"Numerische Mathematik", aufgeteilt in zwei Bände, ist eine Einführung in die Numerische Mathematik anhand von Differentialgleichungsproblemen. Gegliedert nach elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Differentialgleichungen wird zunächst jeweils die Diskretisierung solcher Probleme besprochen. Als Diskretisierungstechniken stehen Finite-Elemente-Methoden im Raum und (partitionierte) Runge-Kutta-Methoden in der Zeit im Vordergrund. Die diskretisierten Gleichungen dienen als Motivation zur Diskussion von Methoden für endlichdimensionale lineare und nichtlineare Gleichungen, die anschließend als eigenständige Themen behandelt werden. Auf diese Weise wird versucht, nicht nur ein einführendes sondern auch ein in sich abgeschlossenes Bild der Numerischen Mathematik, zumindest in einem zentralen Aufgabenbereich, zu vermitteln.
Der vorliegende Band 1 beginnt mit der Variationsformulierung eines linearen eindimensionalen Randwertproblems, setzt mit einer kurzen Diskussion linearer mehrdimensionaler Randwertprobleme fort und endet mit einer einführenden Betrachtung nichtlinearer Randwertprobleme. Die Analyse der Randwertprobleme legt die richtige Spur zur Diskretisierung und anschließend zur Auflösung der durch Diskretisierung erhaltenen Gleichungssysteme. Die diskretisierten Gleichungssysteme dienen als Einstieg und Motivation der dann folgenden Behandlung allgemeiner endlich-dimensionaler Gleichungssysteme.
Contents
Ein erstes Beispiel einer Variationsformulierung.- Der Satz von Lax-Milgram.- Die Galerkin-Methode.- Lineare Gleichungssysteme.- Das Gaußsche Eliminationsverfahren.- Erweiterung auf lineare mehrdimensionale Randwertprobleme.- Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme.- Erweiterung auf nichtlineare Randwertprobleme.- Das Newton-Verfahren.
