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Description
(Text)
Kommutative Algebren, in denen als Ersatz des Assoziativgesetzes 2 2 die Identitat (u v) u = u (v u) gilt, wurden erstmals von P. JORDAN im Jahre 1932 im Zusammenhang mit Fragen der Quantentheorie untersucht. Die Autoren P. JORDAN, J. VON NEUMANN und E. WIGNER gaben bald darauf eine Strukturtheorie der formal-reellen "Jordan Algebren". AnschlieBend waren die Jordan-Algebren Gegenstand zahl reicher rein algebraischer Untersuchungen. Man verdankt hier ins besondere A. A. ALBERT und N. JACOBSON interessante und tiefliegende Ergebnisse. Die Einzelheiten der Entwicklung der Theorie der Jordan Algebren kann man recht gut dem (von uns moglichst vollstandig angegebenen) Literaturverzeichnis entnehmen. Es sind darin auch die jenigen Publikationen aufgenommen worden, die sich nicht in den Rahmen des vorliegenden Buches einfligen. Dieses Literaturverzeichnis umfaBt die Publikationen fiber nicht-assoziative Algebren mit AusschluB der Lie-Algebren. Jordan-Algebren und alternative Algebren haben mehr noch als Lie-Algebren den AnstoB zum Studium allgemeiner nicht-assoziativer Algebren gegeben. In letzter Zeit ergaben sich neben neuen algebraischen Aspekten auch Anwendungen der Jordan-Algebren auf Teile der Analysis. Damit stehen die Jordan-Algebren erganzend neben den Lie-Algebren. Die Autoren gelangten zu den Jordan-Algebren, indem sie von Problem en der Analysis, genauer von der systematischen Untersuchung derjenigen homogenen Bereiche ausgingen, die der Theorie der Modul funktionen in mehreren Variablen zugrunde liegen. Die von ihnen zunachst im Hinblick auf diese Anwendungen entwickelten Methoden erwiesen sich dann auch flir Jordan-Algebren fiber beliebigen Korpern als adaquat. Bei der Gestaltung dieser Gedankengange wurden die Autoren von E. ARTIN in dessen letzten Lebensjahren tatkraftig unterstfitzt.
Contents
Erstes Kapitel Einführung.- § 1. Vektorräume über kommutativen Körpern.- § 2. Algebren.- § 3. Hilfsbetrachtungen über kommutative assoziative Algebren.- § 4. Die Minimalzerlegung in potenz-assoziativen Algebren.- § 5. Einfache Algebren.- § 6. Assoziative Linearformen.- § 7. Semi-normale Linearformen und das Radikal.- § 8. Nichtausgeartete potenz-assoziative Algebren.- § 9. Anwendungen auf zentral-einfache Algebren.- § 10. Primäre Algebren.- § 11. Einige Zusammenhänge zwischen den Algebren A und A+.- § 12. Die Peirce-Zerlegung.- § 13. Halbeinfache Algebren.- § 14. Derivationen.- Zweites Kapitel Strikt potenz-assoziative Algebren mit Einselement.- § 1. Differentiation.- § 2. Identitäten für generische Elemente.- § 3. Multiplikative Polynome.- § 4. Das Minimalpolynom eines generischen Elementes.- § 5. Strukturgruppe und Normen.- § 6. Anwendungen auf Algebren vom Grad 1.- § 7. Diskussion eines einfachen Beispiels.- Drittes Kapitel Homogene Algebren.- § l. Die quadratische Darstellung in schwach homogenen Algebren.- § 2. Der Fall einer Charakteristik ungleich 2.- § 3. Homogene Algebren.- § 4. Multiplikativen Polynomen zugeordnete Linearformen.- § 5. Stark homogene Algebren.- § 6. Anwendung auf zentral-einfache Algebren.- § 7. Homogen-zulässige Algebren.- § 8. Algebren ohne Einselement und das Radikal.- § 9. Einfache Algebren.- § 10. Normale Algebren.- § 11. Direkte Summen.- § 12. Assoziative Algebren.- Viertes Kapitel Jordan-Algebren.- § 1. Nichtkommutative Jordan-Algebren.- § 2. Das Inverse.- § 3. Kommutative Jordan-Algebren.- § 4. Mutationen von Jordan-Algebren.- § 5. Jordan-Algebren einer Charakteristik ungleich 2.- § 6. Die Automorphismengruppe A (A).- Fünftes Kapitel Mutationen von Jordan-Algebren.- § 1. EineVerallgemeinerung der Strukturgruppe.- § 2. Anwendungen auf Mutationen.- § 3. Assoziierte Linearformen und multiplikative Polynome.- § 4. Das Verhalten der multiplikativen Polynome bei Abbildungen aus ?(A(1), A(2)).- § 5. Ähnlichkeitsklassen.- Sechstes Kapitel Beispiele von Jordan-Algebren.- § 1. Spezielle Jordan-Algebren.- § 2. Algebren mit Involution.- § 3. Die Jordan-Algebren H(B).- § 4. Die Algebren H, (C).- § 5. Die Jordan-Algebren [X; ?, e].- § 6. Clifford-Algebren.- § 7. Jordan-Algebren vom Grad 1 und 2.- § 8. ?-Bereiche.- Siebentes Kapitel Alternative Algebren und nichtspezielle Jordan-Algebren.- § 1. Grundlegende Eigenschaften von alternativen Algebren.- § 2. Alternative Algebren als homogen-zulässige Algebren.- § 3. Quadratische Algebren.- § 4. Alternative quadratische Algebren.- § 5. Die Algebren H, (C) für quadratische Algebren C.- § 6. Die Jordan-Algebra H3 (C).- § 7. Über die Strukturgruppe der Algebra H3 (C).- Achtes Kapitel Die Peirce-Zerlegung von Jordan-Algebren in bezug auf ein vollständiges Orthogonalsystem.- § 1. Vollständige Orthogonalsysteme Idempotenter.- § 2. Die Peirce-Zerlegung in bezug auf ein vollständiges Orthogonalsystem.- § 3. Einfache Algebren.- § 4. Reguläre Algebren.- § 5. Die Teilalgebren U von A.- § 6. Die Algebren Cij.- § 7. Eine Anwendung auf assoziative Linearformen.- § 8. Ausnahme-Algebren.- § 9. Reduzierte Algebren.- Neuntes Kapitel Derivationen von Jordan-Algebren.- § 1. Eine Beziehung zwischen nichtausgearteten Bilinearformen und linearen Transformationen.- § 2. Derivationen.- § 3. Anwendungen auf Jordan-Algebren.- § 4. Anwendungen auf die Strukturgruppe.- § 5. Die Lie-Algebra der Strukturgruppe.- Zehntes Kapitel Die Klassifikation der einfachen Jordan-Algebren.- § 1. EinIsomorphiesatz..- § 2. Einfache reguläre Algebren.- § 3. Struktursätze für einfache reguläre Algebren.- § 4. Einfache Algebren.- Elftes Kapitel Reelle und komplexe Jordan-Algebren.- § 1. Einige analytische Hilfsmittel.- § 2. Reelle und komplexe Jordan-Algebren.- § 3. Formal-reelle Jordan-Algebren.- § 4, Die Gruppe der linearen Selbstabbildungen von YA.- § 5. Anwendung der Strukturtheorie auf formal-reelle Jordan-Algebren.- § 6. Elementarfunktionen auf formal-reellen Jordan-Algebren.- § 7. Über den Rand des Bereiches YA.
