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Description
Die Realitiit ist vielleicht das reinste Chaos. Georg Christoph Lichtenberg 1953 erkannte ich, daj3 die gerade Linie zum Untergang der Menschheitfiihrt. Aber die gerade Linie ist zur absoluten Tyrannei geworden. Die gerade Linie ist der Fluch unserer Zivilisation. Heute erleben wir den Triumph der rationalen Technik, und wiihrenddessen befinden wir uns gleichzeitig vor dem Nichts. Friedensreich Hundertwasser Dieses Buch ist weder ein typisches Mathematikbuch noch ein iibliches popularwis senschaftliches Buch. Vielmehr war beabsichtigt, eine Art Lesebuch vorzulegen, das es auch Laien erlaubt, ohne den Ballast zu vieler technisch-mathematischer Notationen, einen soliden Einblick in die Welt der aktuellen Chaostheorie und der fraktalen Geo metrie zu gewinnen. Dieser erste Band konzentriert sich dabei mehr auf geometrische Phanomene, wahrend der zweite Band Chaos - Bausteine der Ordnung sich vor allem auf dynamische Phanomene stiitzt. Seit Ende der siebziger Jahre lauft eine Welle durch Mathematik und Naturwissen schaften, die in ihrer Kraft, Kreativitat und Weitraumigkeit langst ein interdisziplinares Ereignis ersten Ranges geworden ist: Chaos und Fraktale. Dies ist umso bemerkenswer ter, als sich die Chaostheorie und die fraktale Geometrie eigentlich in keiner Hinsicht mit den groBartigen Entwiirfen dieses Jahrhunderts, wie etwa der Quantentheorie oder der Relativitatstheorie, messen k6nnen. Chaostheorie und fraktale Geometrie haben Naturwissenschaftler und Mathematiker mit einer Reihe von Dberraschungen konfrontiert, deren Konsequenzen im Verhaltnis zu den Angeboten einer sich oft omnipotent gebenden Wissenschaft und Technik zugleich emiichternd und dramatisch sind: Zahlreiche Phanomene sind trotz strengem naturgesetzlichem Deterrninismus prin zipiell nicht prognostizierbar. Vorwort: Fraktale und die Wiedergeburt der Experimentellen Mathematik.- 1 Die Säulen der fraktalen Geometrie: Rückkopplung und Iteration.- 1.1 Das Prinzip der Rückkopplung.- 1.2 Die Mehrfach-VerWeinerangs-Kopier-Maschine.- 1.3 Grundtypen von Rückkopplungsprozessen.- 1.4 Die Parabel der Parabel - Oder: Man traue seinem Computer nicht..- 1.5 Chaos macht jeden Computer nieder.- 1.6 Programm des Kapitels: Grafische Iteration.- 2 Klassische Fraktale und Selbstähnlichkeit.- 2.1 Die Cantor-Menge.- 2.2 Sierpinski-Dreieck und -Teppich.- 2.3 Das Pascalsche Dreieck.- 2.4 Die Koch-Kurve.- 2.5 Raumfüllende Kurven.- 2.6 Fraktale und das Problem der Dimension.- 2.7 Die Universalität des Sierpinski-Teppichs.- 2.8 Julia-Mengen.- 2.9 Pythagoreische Bäume.- 2.10 Programm des Kapitels: Sierpinski-Dreieck mit binären Adressen.- 3 Grenzwerte und Selbstähnlichkeit.- 3.1 Ähnlichkeit und Skalierung.- 3.2 Geometrische Reihen und die Koch-Kurve.- 3.3 Das Neue von verschiedenen Seiten her angehen: Pi und die Quadratwurzel von Zwei.- 3.4 Fraktale als Lösungen von Gleichungen.- 3.5 Raster-Selbstähnlichkeit: Den Limes erfassen.- 3.6 Programm des Kapitels: Die Koch-Kurve.- 4 Fraktale Dimension: Messen von Komplexität.- 4.1 Spiralen endlicher und unendlicher Länge.- 4.2 Messen von fraktalen Kurven und Potenzgesetze.- 4.3 Fraktale Dimension.- 4.4 Die Box-Dimension.- 4.5 Grenzfälle von Fraktalen: Teufelstreppe und Peano-Kurve.- 4.6 Programm des Kapitels: Die Cantor-Menge und die Teufelstreppe.- 5 IFS: Bildkodierimg mit einfachen Transformationen.- 5.1 Die Metapher der Mehrfach-Verkleinerungs-Kopier-Maschine.- 5.2 Zusammensetzung einfacher Transformationen.- 5.3 Verwandte des Sierpinski-Dreiecks.- 5.4 Klassische Fraktale mit Hilfe von IFS.- 5.5 Bildkodierung mit IFS.- 5.6 Grundlage vonIFS: Das Banachsche Fixpunktprinzip.- 5.7 Die Wahl der richtigen Metrik.- 5.8 Zusammensetzung selbstähnlicher Bilder.- 5.9 Brechung von Selbstähnlichkeit und Selbstaffinität oder Vernetzung von MVKM.- 5.10 Programm des Kapitels: Iterieren der MVKM.- 6 Das Chaos-Spiel: Wie Zufall deterministische Formen erzeugt.- 6.1 Die Glücksrad-Verkleinerungs-Kopier-Maschine.- 6.2 Adressen: Untersuchung des Chaos-Spiels.- 6.3 Tunen des Glücksrades.- 6.4 Fallstrick Zufallszahlengenerator.- 6.5 Verfahren mit adaptivem Abbruch.- 6.6 Programm des Kapitels: Chaos-Spiel für den Farn.- 7 Unregelmäßige Formen: Zufall in fraktalen Konstruktionen.- 7.1 Randomisierung von deterministischen Fraktalen.- 7.2 Perkolation: Fraktale und Brände in Zufallswäldern.- 7.3 Zufalls-Fraktale in einem Laborexperiment.- 7.4 Simulation der Brownschen Bewegung.- 7.5 Skalierungsgesetze und gebrochene Brownsche Bewegung.- 7.6 Fraktale Landschaften.- 7.7 Programm des Kapitels: Zufällige Mittelpunktverschiebung.- A Fraktale Bildkompression.- A.1 Selbstähnlichkeit in Bildern.- A.2 Eine Spezial-MVKM.- A.3 Kodierung von Bildern.- A.4 Verschiedene Unterteilungsstrategien.- A.5 Hinweise für die Implementierung.
Contents
Vorwort: Fraktale und die Wiedergeburt der Experimentellen Mathematik.- 1 Die Säulen der fraktalen Geometrie: Rückkopplung und Iteration.- 1.1 Das Prinzip der Rückkopplung.- 1.2 Die Mehrfach-VerWeinerangs-Kopier-Maschine.- 1.3 Grundtypen von Rückkopplungsprozessen.- 1.4 Die Parabel der Parabel — Oder: Man traue seinem Computer nicht..- 1.5 Chaos macht jeden Computer nieder.- 1.6 Programm des Kapitels: Grafische Iteration.- 2 Klassische Fraktale und Selbstähnlichkeit.- 2.1 Die Cantor-Menge.- 2.2 Sierpinski-Dreieck und -Teppich.- 2.3 Das Pascalsche Dreieck.- 2.4 Die Koch-Kurve.- 2.5 Raumfüllende Kurven.- 2.6 Fraktale und das Problem der Dimension.- 2.7 Die Universalität des Sierpinski-Teppichs.- 2.8 Julia-Mengen.- 2.9 Pythagoreische Bäume.- 2.10 Programm des Kapitels: Sierpinski-Dreieck mit binären Adressen.- 3 Grenzwerte und Selbstähnlichkeit.- 3.1 Ähnlichkeit und Skalierung.- 3.2 Geometrische Reihen und die Koch-Kurve.- 3.3 Das Neue von verschiedenen Seiten her angehen: Pi und die Quadratwurzel von Zwei.- 3.4 Fraktale als Lösungen von Gleichungen.- 3.5 Raster-Selbstähnlichkeit: Den Limes erfassen.- 3.6 Programm des Kapitels: Die Koch-Kurve.- 4 Fraktale Dimension: Messen von Komplexität.- 4.1 Spiralen endlicher und unendlicher Länge.- 4.2 Messen von fraktalen Kurven und Potenzgesetze.- 4.3 Fraktale Dimension.- 4.4 Die Box-Dimension.- 4.5 Grenzfälle von Fraktalen: Teufelstreppe und Peano-Kurve.- 4.6 Programm des Kapitels: Die Cantor-Menge und die Teufelstreppe.- 5 IFS: Bildkodierimg mit einfachen Transformationen.- 5.1 Die Metapher der Mehrfach-Verkleinerungs-Kopier-Maschine.- 5.2 Zusammensetzung einfacher Transformationen.- 5.3 Verwandte des Sierpinski-Dreiecks.- 5.4 Klassische Fraktale mit Hilfe von IFS.- 5.5 Bildkodierung mit IFS.- 5.6 Grundlage vonIFS: Das Banachsche Fixpunktprinzip.- 5.7 Die Wahl der richtigen Metrik.- 5.8 Zusammensetzung selbstähnlicher Bilder.- 5.9 Brechung von Selbstähnlichkeit und Selbstaffinität oder Vernetzung von MVKM.- 5.10 Programm des Kapitels: Iterieren der MVKM.- 6 Das Chaos-Spiel: Wie Zufall deterministische Formen erzeugt.- 6.1 Die Glücksrad-Verkleinerungs-Kopier-Maschine.- 6.2 Adressen: Untersuchung des Chaos-Spiels.- 6.3 Tunen des Glücksrades.- 6.4 Fallstrick Zufallszahlengenerator.- 6.5 Verfahren mit adaptivem Abbruch.- 6.6 Programm des Kapitels: Chaos-Spiel für den Farn.- 7 Unregelmäßige Formen: Zufall in fraktalen Konstruktionen.- 7.1 Randomisierung von deterministischen Fraktalen.- 7.2 Perkolation: Fraktale und Brände in Zufallswäldern.- 7.3 Zufalls-Fraktale in einem Laborexperiment.- 7.4 Simulation der Brownschen Bewegung.- 7.5 Skalierungsgesetze und gebrochene Brownsche Bewegung.- 7.6 Fraktale Landschaften.- 7.7 Programm des Kapitels: Zufällige Mittelpunktverschiebung.- A Fraktale Bildkompression.- A.1 Selbstähnlichkeit in Bildern.- A.2 Eine Spezial-MVKM.- A.3 Kodierung von Bildern.- A.4 Verschiedene Unterteilungsstrategien.- A.5 Hinweise für die Implementierung.
