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Description
(Text)
Die Vorlesung zur Einfiihrung in die hOhere Mathematik, die GEORG FEIGL wahrend seiner Lehrtatigkeit an der Universitat Berlin von 1920 bis 1934 regelmaBig jedes Semester gelesen hat, diente einem doppelten Zweck. Sie sollte den Studierenden den "Obergang yom Schulunterricht zu dem so ganz anders gearteten Unterricht durch Vorlesungen er leichtern, und sie sollte zugleich fur die Dozenten die Anfangervorlesun gen in stofflicher Hinsicht entlasten. In der Analytischen Geometrie mochte man die Grundbegriffe der Vektoralgebra und der Matrizen rechnung als Hilfsmittel verwenden, ohne sich lange daruber auslassen zu mussen, und in der Infinitesimalrechimng muB man auf einem ge sicherten Begriff der reellen Zahl aufbauen, zu dessen Begrundung innerhalb der Vorlesung jedoch die Zeit nicht ausreicht. Diese beiden Ziele haben den Charakter der FEIGLSchen Einfuhrungs vorlesung sowie die Auswahl des in ihr behandelten Stoffes bestimmt, wobei im einzelnen auch ERHARD SCHMIDT maBgeblicher Berater war. Die eine Anfangervorlesung begleitend, die andere vorbereitend, dabei in der Darstellung an die Unterrichtsmethoden der Schule anknupfend, hat die "Einfiihrung" vielen Generationen von Mathematikstudierenden in Berlin Freude und Nutzen gebracht. Es ist zu erwarten, daB sie auch in der vorliegenden Buchform geeignet ist, die Anfangsschwierig keiten des Mathematikstudiums uberwinden zu helfen und daruber hinaus all denen Einblicke in die hohere Mathematik zu vertnitteln, die sich aus Liebhaberei oder aus beruflichem Interesse mit dieser Wissenschaft beschaftigen wollen. V orausgesetzt wird lediglich einiges aus der Schulmathematik sowie einmal (Kap. IV,
3) der Fundamental satz der· Algebra.
(Table of content)
I. Komplexe Zahlen.- 1. Vorbemerkungen über reelle Zahlen.- 2. Das Rechnen mit komplexen Zahlen.- 3. Das Rechnen mit endlichen Summen, und Produkten.- II. Zahlenreihen und Vektoren.- 1. Das Rechnen mit Zahlenreihen.- 2. Deutung reeller Zahlenreihen als Vektoren für n = 1, 2, 3..- 3. Deutung von Zahlenreihen als Vektoren im allgemeinen Fall.- III. Determinanten.- 1. Determinanten zweiter Ordnung.- 2. Definition der Determinante dritter Ordnung.- 3. Das Vorzeichen einer Permutation.- 4. Definition und Eigenschaften der Determinante n-ter Ordnung.- 5. Einige Sätze über Determinanten..- IV. Polynome und rationale Funktionen.- 1. Polynome in einer Veränderlichen.- 2. Teilbarkeitseigenschaften.- 3. Anwendungen (Partialbruchzerlegung).- 4. Polynome in mehreren Veränderlichen.- V. Systeme von linearen Gleichungen.- 1. Allgemeine Sätze über die Lösungen eines Systems linearer Gleichungen.- 2. Der Hauptfall m = n eines linearen Gleichungensystems.- 3. Der Rang einer Matrix.- 4. Der allgemeine Fall eines homogenen Gleichungensystems..- 5. Der allgemeine Fall eines inhomogenen Gleichungensystems..- VI. Der Gruppenbegriff.- 1. Das Rechnen mit Permutationen.- 2. Definition der Gruppe.- 3. Einige Eigenschaften einer Gruppe.- VII. Matrizen und lineare Substitutionen.- 1. Quadratische Matrizen.- 2. Rechteckige Matrizen.- 3. Lineare Substitutionen.- VIII. Grundbegriffe der Mengenlehre.- 1. Verknüpfung und Abbildung von Mengen.- 2. Abzählbare und nichtabzählbare Mengen..- 3. Geordnete Mengen.- IX. Die ganzen rationalen Zahlen.- 1. Die Menge der natürlichen Zahlen.- 2. Das Rechnen mit natürlichen Zahlen.- 3. Die Addition der ganzen Zahlen.- 4. Die Multiplikation der ganzenZahlen.- X. Die rationalen Zahlen.- 1. Das Rechnen mit rationalen Zahlen.- 2. Der Bereich der rationalen Zahlen.- 3. Folgerungen für das Buchstabenrechnen.- 4. Mehrgliedrige Ausdrücke.- XI. Die reellen Zahlen.- 1. Die positiven reellen Zahlen.- 2. Der Bereich aller reellen Zahlen.- 3. Stetigkeit der Menge der reellen Zahlen.- Namen- und Sachverzeichnis.
Contents
I. Komplexe Zahlen.- § 1. Vorbemerkungen über reelle Zahlen.- § 2. Das Rechnen mit komplexen Zahlen.- § 3. Das Rechnen mit endlichen Summen, und Produkten.- II. Zahlenreihen und Vektoren.- § 1. Das Rechnen mit Zahlenreihen.- § 2. Deutung reeller Zahlenreihen als Vektoren für n = 1, 2, 3..- § 3. Deutung von Zahlenreihen als Vektoren im allgemeinen Fall.- III. Determinanten.- § 1. Determinanten zweiter Ordnung.- § 2. Definition der Determinante dritter Ordnung.- § 3. Das Vorzeichen einer Permutation.- § 4. Definition und Eigenschaften der Determinante n-ter Ordnung.- § 5. Einige Sätze über Determinanten..- IV. Polynome und rationale Funktionen.- § 1. Polynome in einer Veränderlichen.- § 2. Teilbarkeitseigenschaften.- § 3. Anwendungen (Partialbruchzerlegung).- § 4. Polynome in mehreren Veränderlichen.- V. Systeme von linearen Gleichungen.- § 1. Allgemeine Sätze über die Lösungen eines Systems linearer Gleichungen.- § 2. Der Hauptfall m = n eines linearen Gleichungensystems.- § 3. Der Rang einer Matrix.- § 4. Der allgemeine Fall eines homogenen Gleichungensystems..- § 5. Der allgemeine Fall eines inhomogenen Gleichungensystems..- VI. Der Gruppenbegriff.- § 1. Das Rechnen mit Permutationen.- § 2. Definition der Gruppe.- § 3. Einige Eigenschaften einer Gruppe.- VII. Matrizen und lineare Substitutionen.- § 1. Quadratische Matrizen.- § 2. Rechteckige Matrizen.- § 3. Lineare Substitutionen.- VIII. Grundbegriffe der Mengenlehre.- § 1. Verknüpfung und Abbildung von Mengen.- § 2. Abzählbare und nichtabzählbare Mengen..- § 3. Geordnete Mengen.- IX. Die ganzen rationalen Zahlen.- § 1. Die Menge der natürlichen Zahlen.- § 2. Das Rechnen mit natürlichen Zahlen.- § 3. Die Addition der ganzen Zahlen.- § 4. Die Multiplikation der ganzenZahlen.- X. Die rationalen Zahlen.- § 1. Das Rechnen mit rationalen Zahlen.- § 2. Der Bereich der rationalen Zahlen.- § 3. Folgerungen für das Buchstabenrechnen.- § 4. Mehrgliedrige Ausdrücke.- XI. Die reellen Zahlen.- § 1. Die positiven reellen Zahlen.- § 2. Der Bereich aller reellen Zahlen.- § 3. Stetigkeit der Menge der reellen Zahlen.- Namen- und Sachverzeichnis.
