Description
(Text)
1. Der klassische Satz von Mittag-LeIDer, nach dem in jedem Gebiete der GauB schen Zahlenebene ce meromorphe Funktionen mit vorgegebenen Hauptteilen konstruiert werden konnen, wurde bereits 1895 von P. Cousin auf den Fall von mehreren komplexen Veranderlichen iibertragen. Allerdings konnten Cousin und nachfolgende Autoren den analogen Satz nur fUr spezielle Gebiete, namlich Zylindergebiete des m-dimensionalen komplexen Zahlenraumes cern, beweisen. m Es zeigte sich, daB keineswegs in allen Gebieten des ce , 2 S; m 00, die ge suchten meromorphen Funktionen existieren; das bekannteste Beispiel dafiir 2 ist ein "gekerbter" Dizylinder D im ce ; der aus dem Einheitsdizylindei 2 Z:= {(Zl,Z2)E ce : IZJI
(Table of content)
A. Garbentheorie.- 0. Garben und Prägarben von Mengen.- 1. Garben mit algebraischer Struktur.- 2. Kohärente Garben und kohärente Funktoren.- 3. Komplexe Räume.- 4. Weiche und welke Garben.- B. Cohomologietheorie.- 1. Welke Cohomologietheorie.- 2. ?echsche Cohomologietheorie.- 3. Leraysches Lemma und Isomorphiesatz ?Haq (X,S) ?? ?Hq(X,S) ?? Hq(X,S).- I. Kohärenzsatz für endliche holomorphe Abbildungen.- 1. Endliche Abbildungen und Bildgarben.- 2. Allgemeiner Weierstraßscher Divisionssatz und Weierstraßisomorphismus.- 3. Der Kohärenzsatz für endliche holomorphe Abbildungen.- II. Differentialformen und Dolbeaulttheorie.- 1. Komplex-wertige Differentialformen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 2. Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten.- 3. Das Lemma von Grothendieck.- 4. Dolbeaultsche Cohomologietheorie.- Supplement zu 4.1. Ein Satz von Hartogs.- III. Theoreme A und B für kompakte Quader im ?m.- 1. Heftungslemmata von Cousin und Cartan.- 2. Verheftung von Garbenepimorphismen.- 3. Theoreme A und B.- IV. Steinsche Räume.- 1. Der Verschwindungssatz Hq(X,S)=0.- 2. Schwache Holomorphiekonvexität und Pflaster.- 3. Holomorph-vollständige Räume.- 4. Quaderausschöpfungen sind Steinsch.- V. Anwendungen der Theoreme A und B.- 1. Beispiele Steinscher Räume.- 2. Cousin-Probleme und Poincaré-Problem.- 3. Divisorenklassen und lokal-freie analytische Garben vom Rang 1.- 4. Garbentheoretische Charakterisierung Steinscher Räume.- 5. Garbentheoretische Charakterisierung Steinscher Bereiche im ?m.- 6. Topologisierung von Schnittmoduln kohärenter Garben.- 7. Charaktertheorie Steinscher Algebren.- VI. Endlichkeitssatz.- 1. Quadrat-integrierbare holomorpheFunktionen.- 2. Monotone Orthogonalbasen.- 3. Meßatlanten.- 4. Beweis des Endlichkeitssatzes.- VII. Kompakte Riemannsche Flächen.- 1. Divisoren und lokal-freie Garben ?(D).- 2. Existenz globaler meromorpher Schnittflächen.- 3. Der Satz von Riemann-Roch (vorläufige Fassung).- 4. Struktur lokal-freier Garben.- Supplement zu 4. Satz von Riemann-Roch für lokal-freie Garben.- 5. Die Gleichung H1(X,?)=0.- 6. Der Dualitätssatz von Serre.- 7. Der Satz von Riemann-Roch (endgültige Fassung).- 8. Spaltung lokal-freier Garben.- Literatur.- Symbolverzeichnis.ildungen und Kohärenz.- II. Differentialformen und Dolbeaulttheorie.- 1. Komplex-wertige Differentialformen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 1. Tangentialvektoren.- 2. Vektorfelder.- 3. Komplexe r-Vektoren.- 4. Liftung von r-Vektoren.- 5. Komplex-wertige Differentialformen.- 6. Äußere Ableitung.- 7. Liftung von Differentialformen.- 8. De Rhamsche Cohomologiegruppen.- 2. Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten.- 1. Die Garben A1,0,A0,1 und ?1.- 2. Die Garben Ap,q und ?p.- 3. Die Ableitungen $$partial $$ und $$bar partial $$.- 4. Holomorphe Liftung von(p, q)-Formen.- 3. Das Lemma von Grothendieck.- 1. Gebietsintegrale. Der OperatorT.- 2. Vertauschbarkeit von T mit partieller Differentiation.- 3. Cauchysche Integralformel und die Gleichung $$Tfrac{{partial f}}{{partial bar z}} = f$$.- 4. Lemma von Grothendieck.- 4. Dolbeaultsche Cohomologietheorie.- 1. Lösung des $$bar partial $$-Problems für kompakte Produktmengen.- 2. Dolbe
Contents
A. Garbentheorie.- § 0. Garben und Prägarben von Mengen.- § 1. Garben mit algebraischer Struktur.- § 2. Kohärente Garben und kohärente Funktoren.- §3. Komplexe Räume.- § 4. Weiche und welke Garben.- B. Cohomologietheorie.- § 1. Welke Cohomologietheorie.- § 2. ?echsche Cohomologietheorie.- §3. Leraysches Lemma und Isomorphiesatz ?Haq (X,S) ?? ?Hq(X,S) ?? Hq(X,S).- I. Kohärenzsatz für endliche holomorphe Abbildungen.- § 1. Endliche Abbildungen und Bildgarben.- § 2. Allgemeiner Weierstraßscher Divisionssatz und Weierstraßisomorphismus.- § 3. Der Kohärenzsatz für endliche holomorphe Abbildungen.- II. Differentialformen und Dolbeaulttheorie.- § 1. Komplex-wertige Differentialformen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- § 2. Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten.- § 3. Das Lemma von Grothendieck.- § 4. Dolbeaultsche Cohomologietheorie.- Supplement zu § 4.1. Ein Satz von Hartogs.- III. Theoreme A und B für kompakte Quader im ?m.- § 1. Heftungslemmata von Cousin und Cartan.- § 2. Verheftung von Garbenepimorphismen.- § 3. Theoreme A und B.- IV. Steinsche Räume.- §1. Der Verschwindungssatz Hq(X,S)=0.- § 2. Schwache Holomorphiekonvexität und Pflaster.- §3. Holomorph-vollständige Räume.- § 4. Quaderausschöpfungen sind Steinsch.- V. Anwendungen der Theoreme A und B.- § 1. Beispiele Steinscher Räume.- § 2. Cousin-Probleme und Poincaré-Problem.- § 3. Divisorenklassen und lokal-freie analytische Garben vom Rang 1.- §4. Garbentheoretische Charakterisierung Steinscher Räume.- § 5. Garbentheoretische Charakterisierung Steinscher Bereiche im ?m.- § 6. Topologisierung von Schnittmoduln kohärenter Garben.- § 7. Charaktertheorie Steinscher Algebren.- VI. Endlichkeitssatz.- § 1. Quadrat-integrierbare holomorpheFunktionen.- § 2. Monotone Orthogonalbasen.- §3. Meßatlanten.- § 4. Beweis des Endlichkeitssatzes.- VII. Kompakte Riemannsche Flächen.- § 1. Divisoren und lokal-freie Garben ?(D).- § 2. Existenz globaler meromorpher Schnittflächen.- § 3. Der Satz von Riemann-Roch (vorläufige Fassung).- § 4. Struktur lokal-freier Garben.- Supplement zu § 4. Satz von Riemann-Roch für lokal-freie Garben.- §5. Die Gleichung H1(X,?)=0.- § 6. Der Dualitätssatz von Serre.- § 7. Der Satz von Riemann-Roch (endgültige Fassung).- §8. Spaltung lokal-freier Garben.- Literatur.- Symbolverzeichnis.
