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Full Description
Dieser Brückenkurs Mathematik erleichtert Studierenden der Ingenieur- und Naturwissenschaften den Übergang von Schule zur Hochschule und Universität.
Contents
Vorwort zur fünften Gesamtauflage ix
1 Aussagenlogik, Mengen und Zahlen 1
1.1 Aussagenlogik 1
1.1.1 Aussagen 1
1.1.2 Verknüpfung von Aussagen 2
1.1.3 Aussageformen 6
1.1.4 Direkter und indirekter Beweis 8
1.2 Mengen 9
1.3 Zahlen 11
1.3.1 Natürliche Zahlen 11
1.3.2 Ganze Zahlen 16
1.3.3 Rationale Zahlen 17
1.3.4 Reelle Zahlen 20
1.4 Aufgaben 23
2 Elementare Arithmetik 27
2.1 Rechenoperationen in ℚ 27
2.1.1 Eigenschaften der Addition in ℚ 28
2.1.2 Eigenschaften der Multiplikation in ℚ 29
2.1.3 Potenzrechnung in ℚ 31
2.1.4 Binomische Formeln 31
2.1.5 Bruchrechnung 32
2.2 Proportionalität 35
2.2.1 Dreisatz 36
2.2.2 Prozentrechnung 37
2.2.3 Zinsrechnung 38
2.3 Aufgaben 39
3 Gleichungen und Ungleichungen 45
3.1 Gleichungen 45
3.1.1 Lösen von Gleichungen 46
3.1.2 Äquivalenzumformungen bei Gleichungen 48
3.2 Ungleichungen 49
3.2.1 Lösen von Ungleichungen 49
3.2.2 Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen 50
3.3 Aufgaben 52
4 Elementare Funktionen 53
4.1 Definition einer Funktionen 53
4.2 Verkettung von Funktionen 54
4.3 Symmetrien bei Funktionen 60
4.4 Monotonie 61
4.5 Umkehrfunktionen 63
4.6 Potenzfunktionen undWurzelfunktionen 63
4.7 Rationale Funktionen 66
4.7.1 Lineare Funktionen 67
4.7.2 Quadratische Funktionen 69
4.7.3 Kubische Funktionen 72
4.7.4 Polynome 74
4.7.5 Polynomdivision 80
4.7.6 Gebrochenrationale Funktionen 82
4.8 Trigonometrische Funktionen 86
4.8.1 Winkel, Bogen- und Gradmaß 86
4.8.2 Sinus- und Kosinusfunktion 88
4.8.3 Tangens- und Kotangensfunktion 93
4.8.4 Arkusfunktionen 96
4.9 Exponential- und Logarithmusfunktionen 98
4.10 Hyperbel- und Areafunktionen 103
4.11 Aufgaben 108
5 Vektorrechnung 113
5.1 Vektoren 113
5.2 Vektoraddition und skalare Multiplikation 115
5.3 Geometrie in Dreiecken 117
5.4 Vektorlänge 121
5.5 Skalarprodukt 123
5.6 Kreuzprodukt 127
5.7 Aufgaben 129
6 Gleichungssysteme und analytische Geometrie 131
6.1 Lineare Gleichungssysteme 131
6.1.1 Matrizen 133
6.1.2 Gauß'sches Eliminationsverfahren 134
6.2 Geraden und Ebenen 141
6.2.1 Geraden im ℝ2 141
6.2.2 Geraden im ℝ3 145
6.2.3 Ebenen im ℝ3 145
6.3 Quadratische Gleichungen 149
6.3.1 Quadratische Gleichungen im ℝ2 149
6.3.2 Quadratische Gleichungen im ℝ3 155
6.4 Aufgaben 163
7 Folgen und stetige Funktionen 167
7.1 Folgen 167
7.1.1 Konvergenz 173
7.1.2 Rechenregeln für konvergente Folgen 177
7.2 Reihen 180
7.3 Grenzwerte von Funktionen 181
7.4 Stetigkeit 187
7.5 Aufgaben 192
8 Differentialrechnung 195
8.1 Ableitung einer Funktion 195
8.2 Ableitungen elementarer Funktionen 202
8.3 Differentiationsregeln 205
8.3.1 Linearität 205
8.3.2 Produktregel 206
8.3.3 Kehrwertregel 207
8.3.4 Quotientenregel 208
8.3.5 Kettenregel 208
8.3.6 Ableitung der Umkehrfunktion 210
8.4 Anwendung der Differentialrechnung 212
8.4.1 Monotonie und Extremwerte 212
8.4.2 Konvexität undWendepunkte 221
8.4.3 Kurvendiskussion 226
8.5 Aufgaben 229
9 Integralrechnung 233
9.1 Das bestimmte Integral 233
9.1.1 Konstruktion des Integrals 236
9.1.2 Integrierbarkeit und Rechenregeln 240
9.1.3 Numerische Integration 243
9.2 Das unbestimmte Integral 246
9.2.1 Stammfunktionen 246
9.2.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 248
9.3 Integrationsregeln 251
9.3.1 Linearität 251
9.3.2 Partielle Integrationsregel 253
9.3.3 Substitutionsregel 256
9.3.4 Gebrochenrationale Funktionen 262
9.4 Uneigentliche Integrale 264
9.4.1 Integrale über unbeschränkte Intervalle 264
9.4.2 Integrale bei unbeschränkten Funktionen 266
9.5 Aufgaben 267
10 Komplexe Zahlen 271
10.1 Konstruktion und Darstellung 271
10.2 Rechenregeln 277
10.3 Aufgaben 284
11 Lösungen zu den Aufgaben 287
Literaturhinweise 369
Stichwortverzeichnis 371
