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Full Description
Dieses Lehrbuch führt in das Gebiet der Differentialgleichungen und der mathematischen Modellbildung ein. Dabei werden etablierte und moderne Rechenmethoden besprochen und es wird erläutert, wie diese zur mathematischen Modellierung benutzt werden können. Lie-Gruppen und deren Einsatz zur Lösung von Differentialgleichungen spielen dabei eine tragende Rolle. Es werden gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen verschiedener Ordnung behandelt, aus denen individuell Beispiele ausgewählt werden können. In seinem modularen und einfach zu folgenden Aufbau ist dieses Buch ideal für Studenten und Wissenschaftler, die mit mathematischen Modellen umgehen müssen.
Inhalt
Ausgewählte Kapitel der Analysis
Mathematische Modelle
Gewöhnliche Differentialgleichungen, traditionelle Lösungsmethoden
Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung
Lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen
Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen
Verallgemeinerte Funktionen oder Distributionen
Invarianzprinzip und Fundamentallösung
Contents
1 Ausgewählte Kapitel der Analysis
1.1 Elementare MathemaTIK
1.1.1 Zahlen, Variable und elementare Funktionen
1.1.2 Quadratische und kubische Gleichungen
1.1.3 Inhalte ähnlicher Figuren am Beispiel der Ellipse#
1.1.4 Algebraische Kurven zweiter Ordnung
1.2 Differential- und Integralrechnung
1.2.1 Regeln zur Differentiation
1.2.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
1.2.3 Invarianzeigenschft der Differentiale
1.2.4 Regeln zur Integration
1.2.5 Die Taylor-Reihe
1.2.6 Komplexe Variable
1.2.7 Approximation von Funktionen
1.2.8 Jacobi-Matrix, funktionale Unabhängigkeit, Variablentransformation in Mehrfachintegralen
1.2.9 Lineare Unabhängigkeit von Funktionen. Die Wronski-Determinante
1.2.10 Integration durch Quadratur
1.2.11 Differentialgleichungen für Familien von Kurven
1.3 Vektoranalysis
1.3.1 Vektoralgebra
1.3.2 Vektorwertige Funktionen
1.3.3 Vektorfelder
1.3.4 Die drei klassischen Integralsätze
1.3.5 Die Laplace-Gleichung
1.3.6 Differentiation von Determinanten
1.4 Differential-algebraische Notationen
1.4.1 Differentierbare Variablen. Totale Ableitungen
1.4.2 Höhere Ableitungen von Produkten und zusammengesetzten Funktionen
1.4.3 Differentialfunktionen mehrerer Veränderlicher
1.4.4 Der Körper der Differentialgleichungen
1.4.5 Transformation von Ableitungen
1.5 Variationsrechnung
1.5.1 Prinzip vom kleinsten Zwang
1.5.2 Die Euler-Lagrange-Gleichungen in mehreren Veränderlichen
Aufgaben zu Kapitel 1
2. Mathematische Modelle
2.1 Einleitung
2.2 Natur-Phenomene
2.2.1 Polulationsmodelle
2.2.2 Ökologie: Radioaktive Abfallprodukte
2.2.3 Die Keplerschen Gesetze und Newtons Gravitationsgesetz
2.2.4 Der freie Fall eines Körpers in Erdnähe
2.2.5 Meteoriten
2.2.6 Ein Modell für fallenden Regen
2.3 Beispiele aus Physik und Ingenieurswesen
2.3.1 Newtons Abkühlgesetz
2.3.2 Mechanische Schwingungen. Das Pendel
2.3.3 Der Bruch betriebener Achsen
2.3.4 Die van der Pol-sche Gleichung
2.3.5 Telegraphengleichung
2.3.6 Elektrodynamik
2.3.7 Die Dirac-Gleichung
2.3.8 Strömungsmechanik
2.3.9 Die Navier-Stokes-Gleichungen
2.3.10 Modell eines Bewässerungssystems
2.3.11 Magnetohydrodynamik
2.4 Diffusionsphenomene
2.4.1 Die lineare Wärmeleitungsgleichung
2.4.2 Die nichtlineare Wärmeleitungsgleichung
2.4.3 Die Burgers- und Korteweg-de-Vries Gleichung
2.4.4 Mathematisches Modellieren in der Finanzwirtschaft
2.5 Biomathematik
2.5.1 Flinke Champignons
2.5.2 Ein Wachstumsmodell für Tumore
2.6 Wellenphenomene
2.6.1 Kleine Schwingungen eines Stabes
2.6.2 Die schwingende Membran
2.6.3 Minimalflächen
2.6.4 Schwingungen schwacher Stäbe und Blechplatten
2.6.5 Nichtlineare Wellen
2.6.6 Die Gleichungen von Chaplygin und Tricomi
Aufgaben zu Kapitel 2
3. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Traditionelle Methoden
3.1 Einführung und elementare Methoden
3.1.1 Differentialgleichungen. Anfangswertprobleme
3.1.2 Die Integration der Gleichung y^(n) = f(x)
3.1.3 Homogene Differentialgleichungen
3.1.4 Verschiedene Arten der Homogenität
3.1.5 Reduktion der Ordnung
3.1.6 Linearisierung durch Differentiation
3.2 Gleichungen erster Ordnung
3.2.1 Separable Gleichungen
3.2.2 Exakte Gleichungen
3.2.3 Integrierender Faktor (A. Clairaut 1739)
3.2.4 Riccati- Gleichung
3.2.5 Bernoulli-Gleichung
3.2.6 Homogene lineare Gleichung
3.2.7 Inhomogene lineare Gleichungen. Variation der Konstanten
3.3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
3.3.1 Homogene Gleichungen. Superposition
3.3.2 Homogene Gleichungen. Äquivalenz-Eigenschaften
3.3.3 Homogene Gleichungen. Konstante Koeffizienten
3.3.4 Inhomogene Gleichungen. Variation der Parameter
3.3.5 Besselsche Differentialgleichung und die Bessel-Funktionen
3.3.6 Die hypergeometrische Gleichung
3.4 Lineare Gleichungen höherer Ordnung
3.4.1 Homogene Gleichungen. Fundamentallösung
3.4.2 Inhomogene Gleichungen. Variation der Konstanten
3.4.3 Gleichungen mit konstanten Koeffizienten
3.4.4 Die Eulersche Differentialgleichung
3.5 Systeme von Gleichungen erster Ordnung
3.5.1 Allgemeine Eingenschaften von Systemen
3.5.2 Erste Integrale
3.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten
3.5.4 Variation der Konstanten bei Systemen
Aufgaben zu Kapitel 3
4. Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung
4.1 Einführung
4.2 Homogene lineare Gleichungen
4.3 Teilweise inhomogene Gleichungen
4.4 Quasi-lineare Gleichungen
4.5 Systeme von homogenen Gleichungen
Aufgaben zu Kapitel 4
5. Lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung+
5.1 Gleichungen in mehreren Variablen
5.1.1 Klassifikation in einem festen Punkt
5.1.2 Adjungierte lineare Differentialoperatoren
5.2 Klassifikation von Gleichungen in zwei unabhängigen Variablen
5.2.1 Charakteristiken. Drei Typen von Gleichungen
5.2.2 Die Standardform hyperbolischer Gleichungen
5.2.3 Die Standardform parabolischer Gleichungen
5.2.4 Die Standardform elliptischer Gleichungen
5.2.5 Gleichungen gemischten Typs
5.2.6 Typen nichtlinearer Gleichung
5.3 Die Integreation hyperbolischer Gleichungen in zwei Variablen
5.3.1 Gleichungen, reduzierbar auf die Wellengleichung
5.3.2 Die Methode von Euler
5.3.3 Die Laplacesche Kaskadenmethode
5.4 Anfangswertprobleme
5.4.1 Die Wellengleichung
5.4.2 Inhomogene Wellengleichung
5.5 Gemischte Probleme. Separation der Variablen
5.5.1
5.5.2 Gemischte Aufgaben für die Wärmeleitungsgleichung
Aufgaben zu Kapitel 5
6. Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen
6.1 Einführung
6.2 Transformationsgruppen
6.2.1 Einparametrige Gruppen in der Ebene
6.2.2 Gruppengeneratoren und die Lie-Gleichungen
6.2.3 Die Exponentialabbildung
6.2.4 Invariante und invariante Gleichungen
6.2.5 Kanonische Variable
6.3 Symmetrien von Gleichungen erster Ordnung
6.3.1 Erste Prolongation des Gruppengenerators
6.3.2 Die Symmetrie-Gruppe: Definition und Eigenschaften
6.3.3 Gleichungen mit einer gegebenen Symmetrie
6.4 Integration von Gleichungen erster Ordnung mittels Symmetrien
6.4.1 Der Liesche integrierende Faktor
6.4.2 Die Integration unter Anwendung der kanonischen Variablen
6.4.3 Invariante Lösungen
6.4.4 Erzeugung allgemeiner Lösungen aus invarianten Lösungen
6.5 Gleichungen zweiter Ordnung
6.5.1 Zweite Prolongation des Gruppengenerators. Berechnung von Symmetrien
6.5.2 Lie - Algebren
6.5.3 Standardformen zwei-dimensionaler Lie - Algebren
6.5.4 Die Liesche Integrationsmethode
6.5.5 Integration linearer Gleichungen mit bekannten partikulären Lösungen
6.5.6 Der Liesche Test zur Linearisierung
6.6 Gleichungen höherer Ordnung
6.6.1 Invariante Lösugen. Herleitung des Eulerschen Ansatzes
6.6.2 Integrierender Faktor (N. H. Ibragimov 2006)
6.6.3 Linearisierung von Gleichungen dritter Ordnung
6.7 Nichtlineare Superposition
6.7.1 Einführung
6.7.2 Hauptsatz zur nichtlinearen Superposition
6.7.3 Beispiele nichtlinearer Superposition
6.7.4 Integration von Systemen unter Verwendung nichtlinearer Superposition
Aufgaben zu Kapitel 6
7. Nichtlineare partielle Differentialgleichungen
7.1 Symmetrien
7.1.1 Definition und Berechnung von Symmetriegruppen
7.1.2 Gruppentransformation von Lösungen
7.2 Gruppen-invariante Lösungen
7.2.1 Einführung
7.2.2 Die Burgers Gleichung
7.2.3 Ein nichtlineares Randwertproblem
7.2.4 Invariante Lösungen für ein nichtlineares Randwertproblem
7.2.5 Invariante Lösungen für ein Tumor-Wachstumsmodell
7.2.6 Ein Beispiel aus der nichtlinearen Optik
7.3 Invarianz und Erhaltungssätze
7.3.1 Einführung
7.3.2 Vorbemerkungen
7.3.3 Das Noethersche Theorem
7.3.4 Lagrange-Funktionen höherer Ordnung
7.3.5 Erhaltungssätze für gewöhnliche Differentialgleichungen
7.3.6 Verallgemeinerung des Noetherschen Theorems
7.3.7 Beispiele aus der klassischen Mechanik
7.3.8 Herleitung der Einsteinschen Gleichung für die Energie
7.3.9 Erhaltungssäte der Dirac-Gleichung
Aufgaben zu Kapitel 7
8. Verallgemeinerte Funktionen. Distributionen
8.1 Einführung verallgemeinerter Funktionen
8.1.1 Heuristische Betrachtungen
8.1.2 Definition und Beispiele von Distributionen
8.1.3 Darstellung der Delta-Funktion als Grenzwert
8.2 Operationen mit Distributionen
8.2.1 Multiplikation mit einer Funktion
8.2.2 Differentiation
8.2.3 Direktes Produkt von Distributionen
8.2.4 Faltungen
8.3 Die Distribution Delta(r^(2-n))
8.3.1 Der Mittelwert über den Raum
8.3.2 Die Lösung der Laplace-Gleichung Delta v(r) = 0
8.3.3 Berechnung der Distribution Delta(r^(2-n))
8.4 Transformation von Distributionen
8.4.1 Motivation durch lineare Transformationen
8.4.2 Transformation der Delta-Funktion
8.4.3 Beliebige Transformationsgruppen
8.4.4 Infinitesimale Transformation von Distributionen
Aufgaben zu Kapitel 8
9. Invarianzprinzip und Fundamentallösung
9.1 Einführung
9.2 Invarianzprinzip
9.2.1 Formulierung des Invarianzprinzips
9.2.2 Fundamentallösung für lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten
9.2.3 Anwendung auf die Laplace-Gleichung
9.2.4 Anwendung auf die Wärmeleitungsgleichung
9.3 Das Cauchy-Problem der Wärmeleitungsgleichung
9.3.1 Fundamentallösung des Cauchy-Problems
9.3.2 Herleitung der Fundamentallölsung des Cauchy-Problems aus dem Invarianz-Prinzip
9.3.3 Lösung des Cauchy-Problems
9.4 Die Wellengleichung
9.4.1 Betrachtungen zu Differentialformen
9.4.2 Beleibige Gleichungen mit Distributionen
9.4.3 Symmetrien und Definition der Fundamentallösungen für die Wellengleicihung
9.4.4 Ableitung der Fundamentallösung
9.4.5 Lösung des Cauchy-Problems
9.5 Gleichungen mit variablen Koeffizienten
Aufgaben zu Kapitel
Lösungen
Bibliographie
