ビジュアル 微分幾何・微分形式 - 5幕からなる数学劇

Tristan Needham/山田澄生

丸善出版（2026/08/04発売）

• サイズ Ａ５判
• 商品コード 9784621312407
• Cコード C3041

出版社内容情報

ノーベル賞受賞者ロジャー・ペンローズの下で学び，視覚的・直観的な解説で定評のあるT. Needhamが，微分幾何学と微分形式を幾何学的（ビジュアル）な観点に重きをおいて解き明かす．全5幕構成のうち，第1幕から第4幕では，ニュートンの幾何学的方法と著者独自の図によって，微分幾何学の古典的成果を直観的に捉えなおす．大域的ガウス?ボンネの定理の 4 通りの幾何学的証明，ガウスの「驚異の定理」の簡潔な証明，n次元多様体におけるリーマン曲率テンソル，一般相対性理論とその応用（重力波・ブラックホール・宇宙論）などを扱う．第 5 幕では，初学者にも親しみやすい形で微分形式を導入し，ベクトル解析における積分定理の統一，2 形式によるマックスウェル方程式の記述，ドラーム・コホモロジー，カルタンの動標構法に基づく微分幾何学，曲率2形式を用いたリーマン曲率テンソルの計算を解説する．基礎的な微分積分と幾何学の知識を前提に，微分幾何学と微分形式の見方を刷新する一冊である．


【目次】

序
謝辞

第I幕　空間の本質

第1章　ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学
　1.1　ユークリッド幾何学と双曲幾何学
　1.2　球面幾何学
　1.3　球面三角形の余剰角度
　1.4　曲面の内在的幾何と外在的幾何
　1.5　まっすぐさを使った測地線の作図
　1.6　空間の本質

第2章　ガウス曲率
　2.1　はじめに
　2.2　円の周長と面積
　2.3　局所的ガウス?ボンネの定理

第3章　序章と第I幕の練習問題

第II幕　計量

第4章　計量：曲面の写像
　4.1　はじめに
　4.2　球の射影地図
　4.3　一般の曲面の計量
　4.4　計量曲率公式
　4.5　等角地図
　4.6　ビジュアル複素解析の例
　4.7　球面の等角立体射影
　4.8　立体射影公式
　4.9　立体射影による円の保存

第5章　擬球面と双曲平面
　5.1　ベルトラミの洞察
　5.2　牽引曲線と擬球面
　5.3　擬球面の等角地図
　5.4　ベルトラミ?ポアンカレ半平面
　5.5　光学を用いて測地線を求める
　5.6　平行角
　5.7　ベルトラミ?ポアンカレ円板

第6章　等長変換と複素数
　6.1　はじめに
　6.2　メビウス変換
　6.3　主要結果
　6.4　アンシュタインの時空の幾何学
　6.5　3次元双曲幾何学

第7章　第II幕の練習問題

第III幕　曲率

第8章　平面曲線の曲率
　8.1　はじめに
　8.2　曲率円
　8.3　ニュートンの曲率公式
　8.4　旋回率としての曲率
　8.5　例：ニュートンの牽引曲線

第9章　3次元空間の曲線

第10章　曲面の主曲率
　10.1　オイラーの曲率公式
　10.2　オイラーの曲率公式の証明
　10.3　回転面

第11章　測地線と測地的曲率
　11.1　測地的曲率と法曲率
　11.2　ムーニエの定理
　11.3　測地線は「まっすぐ」である
　11.4　測地的曲率の内在的測定
　11.5　測地的曲率を測定する単純な外在的方法
　11.6　粘着テープによる測地線の構成法の新しい説明
　11.7　回転面上の測地線

第12章　曲面の外在的曲率
　12.1　はじめに
　12.2　球面写像
　12.3　曲面の外在的曲率
　12.4　どのような形状が可能か

第13章　ガウスの驚異の定理
　13.1　はじめに
　13.2　ガウスの美しい定理(1816)
　13.3　ガウスの驚異の定理(1827)

第14章　鋭い突起の