出版社内容情報
ま え が き
コンピュータは情報通信や統計処理のみならず，理工学問題の解決や研究に著しい貢献を果たしており，必要不可欠なツールとなっている．
このような状況の中で，理工学分野の現象を解析するための大規模なシミュレーションでは定式化したモデルを数値的に解くことが頻繁に行われている．この場合，数値解析のアルゴリズムと理論的背景を詳細に理解し，それに伴う誤差を可能な限り抑えて計算結果の信頼性を十分に高める必要がある．
本書では，高い精度の数値解を得るために必要なアルゴリズムと誤差を中心として数値解析の実際などを体系的に著した．すなわち，コンピュータ内での数値表現方法と誤差を知ったうえで，代数方程式や連立方程式の代表的な解法であるニュートン法や消去法や共役勾配法などの収束誤差の様子を具体的に示した．また固有値の計算ではベき乗法，ヤコビ法，ハウスホルダー法，ＱＲ法の数学的な背景を詳細に示した．さらに，積分と微分方程式の代表的なアルゴリズムと誤差の推定や軽減対策および解の安定性を示した．
これらの数値解法の理解を助けるために，解析解のある６０余の例題について数値解と誤差を求め，誤差の推定や軽減対策などを数学的な裏付けと共に表や図でわかりやすく示した．これらの数値解法を総合的に学習すると，多種多様な１００問の演習問題が解けるだけでなく，解析解を得ることが非常に困難な実務的な問題にも十分に対応できるようになる．
本書が高等教育機関のみならず，企業などでの社会人教育用として広く読まれ，理工学分野の問題解決に必要不可欠な数値解析のアルゴリズムの面白さと，誤差解析などの奥の深さを実体験する契機になれば大きな喜びです．
さらに，本書の執筆にあたって先輩諸氏の多くの著書などを参考にさせていただいた．これらの執筆の方々に感謝申し上げます．また，心温まる励ましを賜った友人と家族，さらに本書の発行にあたって大変お世話いただいた日刊工業新聞社の天野慶悟氏に厚く御礼申し上げます．
２００１年１１月 著 者
＜＜目次＞＞
まえがき
第１章 数値計算と誤差
１．１ 整数型データの内部表現 １
１．１．１ 整数型データの内部表現 １
１．１．２ 整数型の計算誤差の例 ４
１．２ 浮動小数点型データの内部表現 ６
１．２．１ 浮動小数点型データの内部表現 ７
１．２．２ 浮動小数点型数値の精度 ９
１．２．３ 絶対誤差と相対誤差 １１
１．３ 数値計算誤差の種類と累積 １２
１．３．１ 打切り誤差 １２
１．３．２ 丸め誤差とその検出方法 １３
１．３．３ 計算誤差の伝搬と累積 １４
１．４ 誤差解析 １６
１．４．１ 誤差解析法 １７
１．４．２ 計算誤差と軽減対策 １７
第１章 演習問題 ２２
第２章 代数方程式
２．１ ２分法 ２３
２．１．１ ２分法 ２４
２．１．２ ２分法の収束判定 ２５
２．２ ニュートン法 ２７
２．２．１ ニュートン法 ２８
２．２．２ ニュートン法の収束 ３４
２．３ 高次方程式 ３７
２．３．１ 高次連立方程式への拡張 ３７
２．３．２ 収束判定 ３８
第２章 演習問題 ４１
第３章 連立方程式
３．１ ガウスの消去法 ４３
３．１．１ 前進消去と後退代入 ４３
３．１．２ 枢軸と枢軸選び ４６
３．１．３ 逆行列への応用 ４９
３．２ 消去法の計算回数と誤差 ５０
３．２．１ 計算回数 ５１
３．２．２ 消去法の計算誤差 ５２
３．２．３ 消去法の計算例 ５４
３．３ 反復解法 ５４
３．３．１ ヤコビの反復法 ５４
３．３．２ ガウス・ザイデルの反復法 ６０
３．３．３ 加速緩和法 ６４
３．４ 三角分解 ６５
３．４．１ ＬＵ分解 ６５
３．４．２ ＬＵ分解による連立１次方程式の解法 ６９
３．５ 共役勾配法 ７２
３．５．１ 共役勾配法 ７３
３．５．２ 修正コレスキー分解と不完全コレスキー分解 ７７
３．５．３ 前処理共役勾配法 ８１
第３章 演習問題 ８６
第４章 固有値問題
４．１ べき乗法 ８９
４．１．１ 固有値と固有ベクトル ８９
４．１．２ べき乗法 ９３
４．１．３ べき乗法の収束 ９３
４．２ ヤコビ法 ９７
４．２．１ ヤコビ法 ９７
４．２．２ ヤコビ法の収束 １０２
４．３ ハウスホルダー法 １０５
４．３．１ ハウスホルダー変換 １０５
４．３．２ 三重対角行列の固有値 １０７
４．４ ＱＲ法 １１２
４．４．１ ＱＲ法 １１３
４．４．２ ＱＲ法の収束 １２０
第４章 演習問題 １２９
第５章 補間法と関数近似
５．１ ラグランジュの補間多項式 １３２
５．１．１ 補間多項式 １３２
５．１．２ 誤差の評価 １３４
５．２ スプライン関数による補間 １３８
５．２．１ ３次のスプライン関数による補間法 １３８
５．２．２ 誤差の評価 １４３
５．３ 最小２乗法による近似 １４４
５．３．１ 多項式近似 １４４
５．３．２ 指数関数近似 １４８
第５章 演習問題 １５２
第６章 数値積分
６．１ 台形公式による数値積分 １５４
６．１．１ 台形公式 １５４
６．１．２ 分割数と誤差 １５５
６．２ シンプソンの公式による数値積分 １６１
６．２．１ シンプソンの公式 １６１
６．２．２ 解の収束と誤差 １６３
６．３ ロンバーグ法 １７１
６．３．１ 台形公式の区間細分 １７１
６．３．２ 解の収束と加速 １７２
６．３．３ ロンバーグ表 １７４
６．４ その他の数値積分法 １７７
６．４．１ ガウス型積分公式 １７８
第６章 演習問題 １８５
第７章 常微分方程式
７．１ オイラー法 １８８
７．１．１ オイラー法 １８８
７．１．２ 近似解と誤差の評価 １８９
７．２ ルンゲ・クッタ法 １９１
７．２．１ ４次のルンゲ・クッタ法 １９１
７．２．２ 近似解と誤差の評価 １９５
７．３ 数値解の比較 １９８
７．３．１ きざみ幅と精度の関係 １９８
７．３．２ 誤差対策 １９９
７．４ 数値解法の安定性 １９９
７．４．１ オイラー法の安定性 ２００
７．４．２ ルンゲ・クッタ法の安定性 ２０２
７．４．３ 中点公式の安定性 ２０４
７．５ 連立微分方程式の数値解法 ２０７
７．５．１ 高階微分方程式と連立微分方程式 ２０７
７．５．２ ２階微分方程式の数値解法 ２０９
７．６ 硬い微分方程式の数値解法 ２１３
第７章 演習問題 ２１４
演習問題解答 ２１５
参考図書 ２１９
索 引 ２２１
内容説明
本書では、高い精度の数値解を得るために必要なアルゴリズムと誤差を中心として数値解析の実際などを体系的に著した。すなわち、コンピュータ内での数値表現方法と誤差を知ったうえで、代数方程式や連立方程式の代表的な解法であるニュートン法や消去法や共役勾配法などの収束誤差の様子を具体的に示した。また固有値の計算ではべき乗法、ヤコビ法、ハウスホルダー法、ＱＲ法の数学的な背景を詳細に示した。さらに、積分と微分方程式の代表的なアルゴリズムと誤差の推定や軽減対策および解の安定性を示した。
目次
第１章 数値計算と誤差
第２章 代数方程式
第３章 連立方程式
第４章 固有値問題
第５章 補間法と関数近似
第６章 数値積分
第７章 常微分方程式
著者等紹介
戸川隼人［トガワハヤト］
１９５８年早稲田大学理工学部卒業。１９５８年～１９７１年航空宇宙技術研究所。１９７１年～１９７６年京都産業大学。１９７６年～２０００年日本大学理工学部。２０００年～尚美学園大学芸術情報学部。理学博士
永坂秀子［ナガサカヒデコ］
１９４９年都立女子専門学校数学科卒業。１９４９年～１９５９年東京都立大学理学部。１９５９年～１９９２年日本大学理工学部。理学博士
佐藤次男［サトウツギオ］
１９６４年～１９６６年東北大学電気通信研究所。１９６７年国家公務員上級試験、電子通信職合格。１９８６年文部省内地研究員（東北大学）。１９８８年～１９９４年宮城工業高等専門学校電子計算機室長。現在、宮城工業高等専門学校助教授
中村理一郎［ナカムラリイチロウ］
１９７１年東京理科大学大学院理学研究科博士課程修了。１９７７年文部省在外研究員（アデレード大学、オーストラリア・ナショナル大学、パデュー大学）。１９８７年～１９９０年鶴岡工業高等専門学校電子計算機室長。現在、鶴岡工業高等専門学校教授（応用数学）
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