表現論の礎 表現論序説

有木 進/西山 享【著・編】

共立出版（2026/06発売）

• サイズ A5判／ページ数 216p／高さ 21cm
• 商品コード 9784320116818
• NDC分類 411.62
• Cコード C3341

出版社内容情報

表現論とは何か。代数・幾何・解析にわたり、現代数学にあまねく溶け込む表現論の全域を見渡す、シリーズ第1巻。

本書では、表現論の基礎トレーニングからはじめ、線型代数の到達点であるジョルダン標準形を表現論の立場から見直す。さらに、既知の表現から新しい表現を作る標準的な手法を解説する。物理や数論の研究では、微分方程式などを通じて表現が自然に現れるため、解析的手法に基づく理論もあわせて取り上げる。巻末にまとめた表現論史は、著者の研究歴に裏打ちされた貴重な記録であり、表現論を見渡すうえでも示唆に富む。

表現論的なものの見方の基礎を伝える、学部生から専門家に至るまで好適な一冊。


【目次】

1章　表現論とは何か―序にかえて―
1.1 巡回群の表現
1.2 表現論とは何か
1.3 本書の読み方

2章　表現論の基礎用語
2.1 体・環・群
2.2 準同型写像
2.3 群の集合への作用
2.4 群環（群代数）
2.5 環の加群への作用：環上の加群と環の表現
2.6 準同型定理
2.7 既約表現
2.8 指標と類関数
2.9 組成列と重複度および直既約分解の一意性

3章　テンソル積の線型代数
3.1 ベクトル空間のテンソル積
3.2 線型写像のテンソル積
3.3 テンソル積の縮約
　3.3.1 双対空間と行列
　3.3.2 写像の合成，行列の積

4章　リー群とリー環の表現
4.1 可微分多様体とリー群
4.2 リー環
4.3 普遍包絡環とリー環の表現

5章　表現論からジョルダン標準形を眺める
5.1 ジョルダン標準形
5.2 ジョルダン標準形とリー環の表現
5.3 可換環の表現とジョルダン標準形

6章　テンソル積の空間と表現
6.1 表現のテンソル積
　6.1.1 群の表現のテンソル積
　6.1.2 リー環の表現のテンソル積
6.2 双対表現・線型写像の空間上の表現
6.3 テンソル積と隨伴表現
6.4 双線型形式とテンソル積
6.5 表現のテンソル積の計算例
6.6 余代数，双代数，ホップ代数
6.7 テンソル積加群
6.8 両側加群のテンソル積

7章　環の誘導表現と制限
7.1 表現の制限と誘導
7.2 群の誘導表現
　7.2.1 有限群の誘導表現
　7.2.2 誘導表現と関数空間
　7.2.3 ベクトル束と誘導表現
7.3 リー環の表現の誘導と余誘導

8章　完全可約性とコンパクト群の表現
8.1 完全可約性と既約分解
　8.1.1 既約分解
　8.1.2 不変元と絡作用素
　8.1.3 表現の分解と重複度
8.2 正則表現・誘導表現の分解
8.3 不変積分とハール測度
　8.3.1 ハール測度
　8.3.2 左ハール測度の作り方
8.4 コンパクト群のユニタリ表現と完全可約性
8.5 コンパクト群の正則表現とピーター・ワイルの定理
8.6 コンパクト群の誘導表現

9章　不変微分作用素と表現
9.1 カシミール作用素とラプラシアン
　9.1.1 リー環の包絡環の不変元と中心
　9.1.2 ユークリッド空間の運動群とラプラシアン
9.2 SO(3)の既約表現
9.3 SO(3)の不変微分作用素とsl2の無限次元表現
9.4 球関数とヘッケ環
　9.4.1 球関数と絡作用素
　9.4.2 コンパク

内容説明

表現論から拡がる、数学の視界。代数・幾何・解析にわたり、現代数学にあまねく溶け込む表現論の姿を映し出す新シリーズ。

目次

表現論とは何か―序にかえて―
表現論の基礎用語
テンソル積の線型代数
リー群とリー環の表現
表現論からジョルダン標準形を眺める
テンソル積の空間と表現
環の誘導表現と制限
完全可約性とコンパクト群の表現
不変微分作用素と表現
表現論における双対定理
私説・表現論小史―あとがきに代えて―
これから学ぶ人のために

著者等紹介

有木進［アリキススム］
１９８９年　東京大学大学院理学系研究科　博士課程修了。東京商船大学助教授、京都大学数理解析研究所准教授、大阪大学教授を経て、大阪大学名誉教授

西山享［ニシヤマキョウ］
１９８６年　京都大学大学院理学研究科　博士後期課程修了。京都大学助教授、准教授を経て、青山学院大学理工学部教授（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）
※書籍に掲載されている著者及び編者、訳者、監修者、イラストレーターなどの紹介情報です。