出版社内容情報
ルベーグ積分の主要な理論にスピーディーに到達する教科書。演習問題と解答例を多数掲載。第2版では符号付き測度とリースの表現定理に関する2章を追加。
本書はLebesgue積分の半期の授業の教科書である。Lebesgue積分の要点を基本的なものに限り、できる限り少ないページ数できちんと伝えるのが目標である。Lebesgue積分の広がりは独立した演習問題から学ぶ。独習者のために解答例を掲載。演習問題は大学院入試の備えにも役立つ。
第2版では「要点」と「演習」の2部構成に改め、初版からの方針をより明確にするとともに、符号付き測度およびRieszの表現定理に関する2章を新たに加え、通年の授業における教科書として、またより進んだ学習のための参考書となるように配慮した。さらに、全体の体裁をより見やすく整え、本文・問題・解答について加筆修正を行った。
【目次】
第I部 要点
第1章 Lebesgue積分の定義と収束定理
1.1 Lebesgue積分とは
1.2 σ-加法族と可測集合
1.3 可測関数
1.4 可測関数列
1.5 測度
1.6 積分の定義
1.7 ほとんどいたるところ
1.8 積分の具体例
1.9 収束定理
1.10 収束定理の応用
第2章 Lebesgue測度の構成とFubiniの定理
2.1 外測度
2.2 Carathｅodory可測集合
2.3 測度の完備化
2.4 Hopfの拡張定理
2.5 1次元Lebesgue測度の構成
2.6 直積測度の構成
2.7 Fubiniの定理
2.8 一般次元Lebesgue測度
2.9 Fubiniの定理の応用
2.10 広義積分（積分の極限値）
第3章 可測性とLebesgue測度の詳しい性質
3.1 2変数関数としての可測性
3.2 Lebesgue可測集合とLebesgue可積分関数の近似
3.3 Lebesgue非可測集合
3.4 Cantor集合と非可測集合・非可測関数
第4章 Lebesgue積分の運用
4.1 Lp空間
4.2 Euclid空間上のLp空間
4.3 Weierstrassの多項式近似定理
4.4 Lebesgue積分と複素解析
第5章 符号付き測度とRadon-Nikodymの定理
5.1 符号付き測度
5.2 Hahn分解とJordan分解
5.3 Radon-Nikodymの定理とLebesgueの分解定理
5.4 Lpの共役空間
5.5 有界変動関数と符号付き測度
第6章 Rieszの表現定理
6.1 正の線形汎関数
6.2 汎関数の拡張
6.3 Rieszの表現定理の証明
6.4 有界線形汎関数に対するRieszの定理
6.5 測度のweak*-収束
付録A 準備
A.1 有理数と実数・濃度
A.2 上限・下限
A.3 上極限・下極限
A.4 級数
問題の解答
第II部 演習
演習問題
1 準備
2 σ-加法族
3 可測関数
4 測度
5 ほとんどいたるところ
6 可積分関数
7 Lebesgueの収束定理
8 外測度
9 有限加法的測度
10 Fubiniの定理
11 一般のLp空間
12 Lebesgue測度に対するLp空間
13 Lebesgue測度の詳しい性質
14 符号付き測度とRadon-Nikodymの定理
演習問題の解答
