出版社内容情報
本書は「新しい線形代数」の教科書である。
技術の発展にともなって時代が大きく変わろうとしている昨今、大学の初学年で学ぶ数学も、古典的な内容を学習するだけでなく新しい科学やテクノロジーにも柔軟に対応できるようになることが好ましい。特に線形代数は現代の科学の基礎的な中枢の1つになっているため、新しいトピックを説明した参考書も実務者には必要とされるだろう。しかし、これを使いこなすには、線形代数の基本を本質的に理解しておくことが必要である。そこで、本書では、線形代数の内容に現代のニーズに合うものを取り込みながら、線形代数の本質を深く理解できるような説明を心がけた。
例えば、現代において飛躍的に発展しているデータサイエンス、機械学習、AI といった分野では、マトリクスは、変換作用素としてだけでなく、時間と場所によって値が決まる2 次元データを表したり、ユーザーとアイテムのように2 つの変数の関係性を分析するための対象として取り扱われたりするようにもなってきた。それに従い、従来の線形代数の教科書にはあまり取り上げられなかった、マトリクスそのものの特徴を抽出するような方法が重要視されるようになってきた。特異値分解はその1 つである。この特異値を求めることは固有値を求めることにつながり、また固有値を効率良く求めるQRアルゴリズムが重要になってくる。そこで、本書では、現代の線形代数のニーズに合わせて、この特異値分解や固有値分解、QRアルゴリズムやそこに使われるQR分解についても説明することとした。
このように、本書を通して線形代数の本質を深く理解することで、例えば「固有値の計算はできるが固有値が何を表しているのかよくわからない」というようなこともなくなると考える。
【目次】
第1章 ベクトル
1.1 ベクトル空間
1.1.1 ベクトルの部分空間
1.2 基底ベクトル
1.3 一次独立と一次従属
1.4 ベクトルの内積
1.5 直交ベクトル
1.6 ベクトルのノルム
1.7 ベクトル間のコサインと類似度
章末問題
第2章 マトリクス
2.1 マトリクスの演算
2.1.1 直交マトリクスと正規直交マトリクス
2.1.2 トレース
2.2 ベクトルの外積とマトリクス
2.3 マトリクスと連立一次方程式
2.3.1 1×nマトリクスとn×1マトリクスの掛け算
2.3.2 2次形式
2.4 マトリクスのノルム
2.5 マトリクスの関数
2.6 マトリクスの収束
章末問題
第3章 線形変換
3.1 線形写像
3.1.1 基底ベクトルに対する線形写像
3.1.2 線形写像とマトリクスの同値性
3.1.3 線形写像の合成写像
3.1.4 線形方程式との関係
3.1.5 逆マトリクス
3.2 正定値と負定値
3.3 グラム・シュミットの直交化法
章末問題
第4章 消去法を用いた線形方程式の解法
4.1 線形方程式の各方程式が一次独立な場合
4.1.1 ガウスの消去法
4.1.2 ガウスの消去法の計算コスト
4.1.3 ガウス・ジョルダンの消去法
4.1.4 逆マトリクスの求め方
4.1.5 LU 分解
4.1.6 LU 分解再考
4.1.7 マトリクスの条件数
4.1.8 対角優位
4.2 線形方程式の各方程式が一次従属な場合
章末問題
第5章 ランク
5.1 線形写像の像空間と零空間
5.2 マトリクスのランク
5.2.1 さまざまなマトリクスのランクの定義
5.2.2 マトリクスの行ランクと列ランク
5.2.3 線形写像とランク
章末問題
第6章 デターミナント
6.1 デターミナントの定義
6.2 デターミナントの性質
6.3 デターミナントと平行長方体の体積
6.4 多変数関数の変数変換
6.5 余因子と余因子展開
6.6 余因子マトリクスと逆マトリクス
6.7 デターミナントを用いた線形方程式の解法
6.7.1 余因子展開を用いた方法
6.7.2 体積を用いた方法
章末問題
第7章 固有値と固有ベクトル
7.1 線形微分方程式と固有値
7.2 固有値と固有ベクトル
7.3 2次方程式
7.4 線形微分方程式再訪
7.5 ゲルシェゴリンの定理
章末問題
第8章 QR分解とQRアルゴリズム
8.1 Q
