不完全性定理

菊池 誠【著】

共立出版（2014/10発売）

• サイズ A5判／ページ数 368p／高さ 22cm
• 商品コード 9784320110960
• NDC分類 410.9
• Cコード C3041

出版社内容情報

不完全性定理をとりまく数学基礎論の世界
　我々は何を知り得ないと知ったのか
　本書は，専門的な予備知識は仮定せずに完全性定理や計算可能性から論じ，第一および第二不完全性定理，Rosser の定理，Hilbert のプログラム，Godel の加速定理，算術の超準モデル，Kolmogorov 複雑性などを紹介して，不完全性定理の数学的意義と，その根源にある哲学的問題を説く。

はじめに
数学基礎論と不完全性定理
宴のあと
本書の目標と構成
謝辞

第1章　序：物語の起源
1.1　数学の危機
1.2　三つの思想
1.3　「不安の時代」の終焉と不完全性定理
1.4　再思三考：数学と哲学

第2章　命題論理
2.1　命題論理の論理式と理論
2.2　真理値
2.3　命題結合子の論理的公理と推論規則
2.4　演繹定理と無矛盾性
2.5　命題論理の完全性定理
2.6　コンパクト性定理その他

第3章　述語論理
3.1　述語・関係・集合
3.2　述語論理の論理式と理論
3.3　構造
3.4　量化子と等号の論理的公理と推論規則
3.5　初等的同値と初等的図式
3.6　述語論理の完全性定理
3.7　コンパクト性定理その他

第4章　算術と集合論
4.1　自然数の集合の特徴付け
4.2　Peano 算術
4.3　算術の標準モデルと超準モデル
4.4　Zermelo-Fraenkel 集合論
4.5　集合による自然数の表現
4.6　Skolem の逆理

第5章　計算可能性
5.1　原始再帰的関数
5.2　再帰的関数とChurch-Turing の提唱
5.3　再帰的集合
5.4　再帰的可算集合
5.5　Godel 数と述語論理の算術化
5.6　万能Turing 機械と再帰定理

第6章　定義可能性と表現可能性
6.1　算術のΣ1 完全性
6.2　関数と集合の定義可能性
6.3　可証再帰性
6.4　集合の弱表現可能性
6.5　集合の表現可能性
6.6　関数の表現可能性

第7章　不完全性定理
7.1　不完全性定理への序
7.2　可証性述語と対角化定理
7.3　第一不完全性定理
7.4　可導性条件
7.5　第二不完全性定理
7.6　Rosser の定理
7.7　不完全性定理の数学的意義

第8章　幾つかの話題
8.1　Hilbert のプログラム
8.2　現実的な証明とGodel の加速定理
8.3　算術の超準モデル
8.4　可述的な自然数論と限定算術
8.5　整数・有理数・実数
8.6　Kolmogorov 複雑性
8.7　不完全性定理の有限的性質

第9章　跋：形式主義のふたつのドグマ
9.1　神聖な論理と世俗的な論理
9.2　経験主義者の亡霊
9.3　机の上の白い豆
9.4　隠れた次元
9.5　数学的無垢
9.6　金槌で板を切る
9.7　関係の代数学
9.8　ドグマなき形式主義

おわりに
数学としての数学基礎論の誕生
壮大な循環論法と小さな寓話
読書案内

参考文献

内容説明

専門的な予備知識は仮定せずに完全性定理や計算可能性から論じ、第一および第二不完全性定理、Ｒｏｓｓｅｒの定理、Ｈｉｌｂｅｒｔのプログラム、Ｇ¨ｏｄｅｌの加速定理、算術の超準モデル、Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ複雑性などを紹介して、不完全性定理の数学的意義と、その根源にある哲学的問題を説く。

目次

第１章　序：物語の起源
第２章　命題論理
第３章　述語論理
第４章　算術と集合論
第５章　計算可能性
第６章　定義可能性と表現可能性
第７章　不完全性定理
第８章　幾つかの話題
第９章　跋：形式主義のふたつのドグマ

著者等紹介

菊池誠［キクチマコト］
１９９１年東京工業大学理学部数学科卒業。１９９６年博士（理学）（東北大学）。現在、神戸大学大学院システム情報学研究科准教授。専門、数学基礎論（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです）
※書籍に掲載されている著者及び編者、訳者、監修者、イラストレーターなどの紹介情報です。

感想・レビュー

※以下の感想・レビューは、株式会社ブックウォーカーの提供する「読書メーター」によるものです。

[デコボコ]

文章がカタくて意味がとりづらかったけれど、見通しの良い本ではありました。　何より、8章では、現実的な証明とゲーデルの加速定理、コルモゴロフ複雑性、チャイティンの不完全性定理など興味深い話題が満載で、楽しかったです。

2015/02/12

[disktnk]

命題論理・述語論理に始まり、算術体系(PA-とか)や集合論(ZF(C)とか)の定義を経て不完全定理へと進む流れ。数学基礎論に入る哲学を無視せず、特に第9章は数学で数学を語ることの意味がとくとくと語られている。全体的に証明が簡潔すぎて参考文献をあたるしかないが、公理主義的数学の面白さの一端はつかめたと思いたい。個人的には、計算論との関係が面白かった。 p.vにある対象読者が謎だが、少なくとも、連続体仮説が証明不可とか、選択公理の議論とか、論理命題のゲーテル数表現とか、そういうのは知ってた方が面白いと思う。

2014/12/27

[葉]

神戸大学の菊池先生の本である。数学論理と哲学の歴史について書かれている。表現論で使われている記号や見たことない記号があった。完全性定理から選択公理との関係性などが書かれている。述語論理の初等的同値と初等的図式、Zornの補題までは数学要論2でやったが内容は完全には覚えていない。Fermatの無限降下法やZermelo-Fraenkel集合論については完全に初見で、Ackermann関数は聞いたことがあるくらいのレベルだった。参考文献が多いのがよかった。

2014/11/26

[inaryoXD11]

数学基礎論という言葉を初めて知ったまったく素人です。 なぜ、この本を読もうとしたのか…他の本で参考文献として載っていたからですが、 工学屋としては、数学が基礎であるはずなのに、考えたことがなかった世界。 哲学にも興味があるぼくとしては、なんとかクリアしたかったが、理解が追いつかなかった。 必要に迫られることはなさそうなので、こういう世界があると知れたことで良しとするか！

2018/08/20